(a) Seja P=(a, b). Determine o lugar geométrico dos pontos do plano que distam r de P.
(b) Seja P=(a, b, c). Determine o lugar geométrico dos pontos do espaço que distam r do ponto P.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos o lugar geométrico dos pontos que estão a uma distância fixa r de um ponto dado P.
Conteúdo: geometria analítica (distância no plano e no espaço).
Para resolver, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos em \mathbb{R}^2 e em \mathbb{R}^3.

Passo 2

No plano, seja um ponto genérico X=(x,y). A distância de X a P=(a,b) é
d(X,P)=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}.
Impondo d(X,P)=r e elevando ao quadrado obtemos
(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2.
Isso define uma circunferência de centro P e raio r.

Passo 3

No espaço, seja um ponto genérico X=(x,y,z). A distância de X a P=(a,b,c) é
d(X,P)=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2}.
Igualando a r e elevando ao quadrado resulta
(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 = r^2.
Isso descreve uma esfera de centro P e raio r.

Resposta

(a) \{(x,y)\mid (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2\}, circunferência de centro (a,b) e raio r.
(b) \{(x,y,z)\mid (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 = r^2\}, esfera de centro (a,b,c) e raio r.

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