Resolução de 18: Chamemos de \vec{u}=(1,1,3) e \vec{v}=(0,1,-1) os vetores diretores das retas r e s, respectivamente.
Se a reta m é ortogonal a r e s podemos considerar \vec{n}=\vec{u} \times \vec{v} com seu vetor diretor. Então,
\vec{n}=\vec{u} \times \vec{v} \equiv \operatorname{det}\left[\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\\ 1 & 1 & 3 \\\\ 0 & 1 & -1 \end{array}\right] \equiv(-4,1,1)
Como A(4,5,1) \in m, podemos escrever m:(x, y, z)=(4,5,1)+\mu(-4,1,1), \mu \in R, como uma equação vetorial de m .

Passo 1

O enunciado pede a equação vetorial da reta m que é ortogonal às retas r e s e passa pelo ponto A(4,5,1). O conteúdo principal é produto vetorial para obter um vetor diretor perpendicular a dois vetores dados.

Passo 2

Extraímos dos dados os vetores diretores de r e s: \vec{u}=(1,1,3) e \vec{v}=(0,1,-1).

Passo 3

Calculamos o vetor diretor de m como
\vec{n} \;=\;\vec{u}\times\vec{v}.
Em forma de determinante:
\vec{n} =\det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\\\ 1 & 1 & 3\\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} =(-4,\,1,\,1).

Passo 4

Como m deve passar por A(4,5,1) e ter vetor diretor \vec{n}=(-4,1,1), sua equação vetorial é
(x,y,z) = (4,5,1) + \mu\,(-4,1,1),\quad \mu\in\mathbb{R}.

Resposta

(x,y,z) = (4,5,1) + \mu\,(-4,1,1),\quad \mu\in\mathbb{R}.

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