Resolução de 23: Das equações simétricas das retas r e t fornecidas temos:
  • O vetor \overrightarrow{\mathrm{u}}=(3,-2,-1) como vetor diretor de r e \mathrm{B}(-1,-3,2) como um de seus pontos. Logo, um ponto P genérico de r é da forma
\mathrm{P}=(-1,-3,2)+\lambda(3,-2,-1)=(-1+3 \lambda,-3-2 \lambda, 2-\lambda) \text { com } \lambda \in \mathbb{R} \text {. }
  • O vetor \vec{v}=(2,3,-5) como vetor diretor de \mathrm{t} e \mathrm{C}(2,-1,1) como um de seus pontos. Logo, um ponto Q genérico de t é da forma
\mathrm{Q}=(2,-1,1)+\mu(2,3,-5)=(2+2 \mu,-1+3 \mu, 1-5 \mu) \text { сот } \mu \in \mathbb{R}сот
Determinemos valores \lambda e \mu de tal modo que existam \mathrm{P} e \mathrm{Q} alinhados a A , ou seja, busquemos \lambda e \mu tal que \overrightarrow{\mathrm{AP}} seja paralelo a \overrightarrow{\mathrm{AQ}}, o que equivale à existência de \alpha \in \mathbb{R} tal que \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{AQ}}.
Vejamos:
\begin{aligned} & \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\mathrm{P}-\mathrm{A}=(-1+3 \lambda,-3-2 \lambda, 2-\lambda)-(-4,-5,3)=(3+3 \lambda, 2-2 \lambda,-1-\lambda) \\\ & \overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\mathrm{Q}-\mathrm{A}=(2+2 \mu,-1+3 \mu, 1-5 \mu)-(-4,-5,3)=(6+2 \mu, 4+3 \mu,-2-5 \mu) \end{aligned}
D e \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{AQ}} temos
(3+3 \lambda, 2-2 \lambda,-1-\lambda)=\alpha(6+2 \mu, 4+3 \mu,-2-5 \mu) \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} 3+3 \lambda=\alpha(6+2 \mu) \\\\ 2-2 \lambda=\alpha(4+3 \mu) \\\\ -1-\lambda=\alpha(-2-5 \mu) \end{array}\right.
Trata-se de um sistema não linear nas incógnitas \alpha, \lambda e \mu que pode ser resolvido por meio de substituições de incógnitas. Entretanto, não vamos fazer isso, pois uma solução óbvia é \lambda=\mu=0 e \alpha=\frac{1}{2} (verifique!). Desta forma, há uma reta s que passa pelos pontos \mathrm{P}(-1,-3,2) \in \mathrm{r} e \mathrm{Q}=(2,-1,1) \in \mathrm{t} e contém o ponto \mathrm{A}(-4,-5,3). Tomando \vec{w}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\mathrm{Q}-\mathrm{P}=(3,2,-1) como vetor diretor de s , temos a equação vetorial
s:(x, y, z)=(-4,-5,3)+\tau(3,2,-1), \tau \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço, r e t, cujas equações simétricas nos permitem extrair vetores diretores e pontos para cada uma. Pede-se achar a reta s que passa pelo ponto
A = (-4,-5,3)
e que intersecta simultaneamente r e t. Vamos usar equações paramétricas, condição de colinearidade (paralelismo de vetores) e resolver para os parâmetros.

Passo 2

Das equações simétricas de r obtemos o vetor diretor
\overrightarrow{u} = (3,-2,-1)
e um ponto qualquer em r, por exemplo
B = (-1,-3,2)\!.
Logo, a equação paramétrica de r é
P(\lambda)=B+\lambda\,\overrightarrow{u}=(-1+3\lambda,\,-3-2\lambda,\;2-\lambda),\quad \lambda\in\mathbb{R}.

Passo 3

Analogamente, de t extraímos o vetor diretor
\overrightarrow{v}=(2,3,-5)
e o ponto
C=(2,-1,1).
Assim,
Q(\mu)=C+\mu\,\overrightarrow{v}=(2+2\mu,\,-1+3\mu,\;1-5\mu),\quad \mu\in\mathbb{R}.

Passo 4

Para que A, P e Q estejam colineares, basta exigir \overrightarrow{AP}\parallel \overrightarrow{AQ}, ou seja, existe \alpha\in\mathbb{R} tal que
\overrightarrow{AP}=\alpha\,\overrightarrow{AQ}.
Calculamos
\overrightarrow{AP}=P(\lambda)-A=(3+3\lambda,\;2-2\lambda,\;-1-\lambda),
\overrightarrow{AQ}=Q(\mu)-A=(6+2\mu,\;4+3\mu,\;-2-5\mu).

Passo 5

A condição \overrightarrow{AP}=\alpha\,\overrightarrow{AQ}\) gera o sistema \[\begin{cases} 3+3\lambda=\alpha\,(6+2\mu)\\\\ 2-2\lambda=\alpha\,(4+3\mu)\\\\ -1-\lambda=\alpha\,(-2-5\mu). \end{cases}
Uma solução imediata é
\lambda=0,\quad \mu=0,\quad \alpha=\tfrac12,
pois então \overrightarrow{AP}=(3,2,-1)\] e \(\overrightarrow{AQ}=(6,4,-2)=2\,(3,2,-1).

Passo 6

Com \lambda=0 obtemos
P = (-1,-3,2),
e com \mu=0
Q = (2,-1,1).
Como P,Q\in s e A\in s, um vetor diretor para s é
\overrightarrow{PQ}=Q-P=(3,2,-1).

Passo 7

Logo, a equação vetorial da reta procurada é
s: (x,y,z)=(-4,-5,3)+\tau\,(3,2,-1), \quad \tau\in\mathbb{R}.

Resposta

s: (x,y,z)=(-4,-5,3)+\tau\,(3,2,-1),\;\tau\in\mathbb{R}.

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