Resolução de 23: Das equações simétricas das retas r e t fornecidas temos:
O vetor \overrightarrow{\mathrm{u}}=(3,-2,-1) como vetor diretor de r e \mathrm{B}(-1,-3,2) como um de seus pontos. Logo, um ponto P genérico de r é da forma
Determinemos valores \lambda e \mu de tal modo que existam \mathrm{P} e \mathrm{Q} alinhados a A , ou seja, busquemos \lambda e \mu tal que \overrightarrow{\mathrm{AP}} seja paralelo a \overrightarrow{\mathrm{AQ}}, o que equivale à existência de \alpha \in \mathbb{R} tal que \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{AQ}}.
Vejamos:
Trata-se de um sistema não linear nas incógnitas \alpha, \lambda e \mu que pode ser resolvido por meio de substituições de incógnitas. Entretanto, não vamos fazer isso, pois uma solução óbvia é \lambda=\mu=0 e \alpha=\frac{1}{2} (verifique!). Desta forma, há uma reta s que passa pelos pontos \mathrm{P}(-1,-3,2) \in \mathrm{r} e \mathrm{Q}=(2,-1,1) \in \mathrm{t} e contém o ponto \mathrm{A}(-4,-5,3). Tomando \vec{w}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\mathrm{Q}-\mathrm{P}=(3,2,-1) como vetor diretor de s , temos a equação vetorial
s:(x, y, z)=(-4,-5,3)+\tau(3,2,-1), \tau \in \mathbb{R}
Passo 1
O enunciado dá duas retas no espaço, r e t, cujas equações simétricas nos permitem extrair vetores diretores e pontos para cada uma. Pede-se achar a reta s que passa pelo ponto
A = (-4,-5,3)
e que intersecta simultaneamente r e t. Vamos usar equações paramétricas, condição de colinearidade (paralelismo de vetores) e resolver para os parâmetros.
Passo 2
Das equações simétricas de r obtemos o vetor diretor
A condição \overrightarrow{AP}=\alpha\,\overrightarrow{AQ}\) gera o sistema
\[\begin{cases} 3+3\lambda=\alpha\,(6+2\mu)\\\\ 2-2\lambda=\alpha\,(4+3\mu)\\\\ -1-\lambda=\alpha\,(-2-5\mu). \end{cases}
Uma solução imediata é
\lambda=0,\quad \mu=0,\quad \alpha=\tfrac12,
pois então \overrightarrow{AP}=(3,2,-1)\] e \(\overrightarrow{AQ}=(6,4,-2)=2\,(3,2,-1).