Seja P_{4} o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 4 , sendo a soma e a multiplicação por escalares definida como no exercício 1. Seja S o conjunto dos polinômios pertencentes a P_{4} com a condição indicada. Determine se S é subespaço de P_{4}.
p^{\prime \prime}(0)=0;

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial P_{4}, formado pelos polinômios de grau menor ou igual a 4, com as operações usuais (adição de polinômios e multiplicação por escalares). Define-se o subconjunto
S=\{\,p\in P_{4} \mid p''(0)=0\,\}.
A pergunta é: determinar se S é subespaço de P_{4}.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • Um elemento genérico de P_{4} tem a forma \;p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}\; com coeficientes em \mathbb{R}.
  • A condição que define S é \;p''(0)=0\;, ou seja, a segunda derivada do polinômio avaliada em x=0 deve ser zero.

Passo 2

Vou relembrar rapidamente como calcular derivadas de polinômios (regra do poder), porque isso é central aqui.
Regra do poder: para qualquer inteiro n\ge1,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Aplicando isso termo a termo num polinômio, a derivada de p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4} é
p'(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+4a_{4}x^{3}.
Derivando novamente (segunda derivada),
p''(x)=2a_{2}+6a_{3}x+12a_{4}x^{2}.
Então, avaliando em x=0,
p''(0)=2a_{2}.
Isso significa que a condição p''(0)=0 equivale a 2a_{2}=0, ou seja, a_{2}=0.

Passo 3

Com base no passo anterior, posso descrever explicitamente o conjunto S:
S=\{\,p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}\mid a_{0},a_{1},a_{3},a_{4}\in\mathbb{R}\,\}.
Em palavras: S é o conjunto dos polinômios em P_{4} cujo coeficiente do termo x^{2} é zero.
Exemplos para fixar a ideia:
  • O polinômio nulo p(x)=0 tem todos os coeficientes zero, então a_{2}=0 e p\in S.
  • p(x)=x tem a_{2}=0, logo p\in S.
  • q(x)=x^{2} tem a_{2}=1\neq0, logo q\notin S.

Passo 4

Lembrando a definição prática para verificar se um subconjunto S de um espaço vetorial V é subespaço: basta checar três propriedades
  1. S é não vazio (ou contém o vetor zero);
  2. S é fechado sob adição: se p,q\in S então p+q\in S;
  3. S é fechado sob multiplicação por escalares: se p\in S e c\in\mathbb{R} então c\,p\in S.
Vou verificar cada uma delas usando a caracterização a_{2}=0.

Passo 5

Verificação 1 — não vazio:
O polinômio nulo 0(x)=0 tem segunda derivada 0 em qualquer ponto, em particular 0''(0)=0. Portanto 0\in S. Logo S não é vazio.

Passo 6

Verificação 2 — fechado sob adição:
Sejam p,q\in S. Escreva
p(x)=a_{0}+a_{1}x+0\cdot x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}, \qquad q(x)=b_{0}+b_{1}x+0\cdot x^{2}+b_{3}x^{3}+b_{4}x^{4}.
O polinômio soma é
(p+q)(x)=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})x+(0+0)x^{2}+(a_{3}+b_{3})x^{3}+(a_{4}+b_{4})x^{4}.
O coeficiente do termo x^{2} em p+q é 0+0=0. Assim (p+q)''(0)=2\cdot 0=0, isto é, p+q\in S.
Alternativa, mais conceitual: como a segunda derivada é linear, (p+q)''(0)=p''(0)+q''(0)=0+0=0.

Passo 7

Verificação 3 — fechado sob multiplicação por escalares:
Se p\in S e c\in\mathbb{R}, escrevendo p(x)=a_{0}+a_{1}x+0\cdot x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}, então
(c\,p)(x)=c a_{0}+c a_{1}x+(c\cdot 0)x^{2}+c a_{3}x^{3}+c a_{4}x^{4}.
O coeficiente do x^{2} em c\,p é c\cdot 0=0, logo (c\,p)''(0)=0 e c\,p\in S.
Alternativamente, pela linearidade da derivada, (c\,p)''(0)=c\,p''(0)=c\cdot 0=0.

Passo 8

Resume-se o que foi verificado: S contém o polinômio zero e está fechado sob soma e multiplicação por escalares. Essas três propriedades são exatamente as necessárias para que um subconjunto seja um subespaço linear.

Resposta

Sim. S é subespaço de P_{4}.

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