Seja
o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 4 , sendo a soma e a multiplicação por escalares definida como no exercício 1. Seja
o conjunto dos polinômios pertencentes a
com a condição indicada. Determine se
é subespaço de
.
;
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial
, formado pelos polinômios de grau menor ou igual a
, com as operações usuais (adição de polinômios e multiplicação por escalares). Define-se o subconjunto
A pergunta é: determinar se
é subespaço de
.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
- Um elemento genérico de
tem a forma com coeficientes em . - A condição que define
é , ou seja, a segunda derivada do polinômio avaliada em deve ser zero.
Passo 2
Vou relembrar rapidamente como calcular derivadas de polinômios (regra do poder), porque isso é central aqui.
Regra do poder: para qualquer inteiro
,
Aplicando isso termo a termo num polinômio, a derivada de
é
Derivando novamente (segunda derivada),
Então, avaliando em
,
Isso significa que a condição
equivale a
, ou seja,
.
Passo 3
Com base no passo anterior, posso descrever explicitamente o conjunto
:
Em palavras:
é o conjunto dos polinômios em
cujo coeficiente do termo
é zero.
Exemplos para fixar a ideia:
- O polinômio nulo
tem todos os coeficientes zero, então e . -
tem , logo . -
tem , logo .
Passo 4
Lembrando a definição prática para verificar se um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço: basta checar três propriedades
-
é não vazio (ou contém o vetor zero); -
é fechado sob adição: se então ; -
é fechado sob multiplicação por escalares: se e então .
Vou verificar cada uma delas usando a caracterização
.
Passo 5
Verificação 1 — não vazio:
O polinômio nulo tem segunda derivada
em qualquer ponto, em particular
. Portanto
. Logo
não é vazio.
O polinômio nulo
Passo 6
Verificação 2 — fechado sob adição:
Sejam . Escreva
Sejam
O polinômio soma é
O coeficiente do termo
em
é
. Assim
, isto é,
.
Alternativa, mais conceitual: como a segunda derivada é linear,
.
Passo 7
Verificação 3 — fechado sob multiplicação por escalares:
Se e
, escrevendo
, então
Se
O coeficiente do
em
é
, logo
e
.
Alternativamente, pela linearidade da derivada,
.
Passo 8
Resume-se o que foi verificado:
contém o polinômio zero e está fechado sob soma e multiplicação por escalares. Essas três propriedades são exatamente as necessárias para que um subconjunto seja um subespaço linear.
Resposta
Sim.
é subespaço de
.