Seja
o conjunto das triplas de números reais
, onde a soma é dada por
e a multiplicação por escalar por
Verifique se cada exemplo é um subespaço de
:
Passo 1
O enunciado dá claramente o espaço ambiente e as operações:
- O espaço ambiente é
, isto é, o conjunto de todas as triplas com . - A soma e a multiplicação por escalar são as usuais:
O que o enunciado pede: "Verifique se cada exemplo é um subespaço de
".
Informação importante ausente: o enunciado não listou os exemplos (os subconjuntos de ) que devem ser verificados. Sem esses subconjuntos, não é possível determinar se cada um é subespaço ou não.
Informação importante ausente: o enunciado não listou os exemplos (os subconjuntos de
Passo 2
O que significa ser subespaço — critérios práticos (a “ferramenta” que se usa na prova):
Definição prática: um subconjunto
é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três propriedades:
-
contém o vetor nulo . -
é fechado sob soma: para quaisquer tem-se . -
é fechado sob multiplicação por escalar: para qualquer e qualquer tem-se .
Por que essas três propriedades? Resumo rápido e intuitivo:
- O espaço vetorial exige que o zero esteja presente e que as operações internas não levem para fora do conjunto. Se essas três condições são verdadeiras,
herda todas as demais propriedades necessárias (associatividade, existência de inverso etc.) por ser um subconjunto do espaço que já tem essas propriedades.
Observação útil (atalho em provas): é suficiente verificar que
e que para quaisquer
e quaisquer escalares
vale
. Essa condição implica as três anteriores (coloque
e
etc.).
Passo 3
Como aplicar os critérios passo a passo — exemplos ensinando a técnica (resoluções totalmente mastigadas):
Exemplo 1 (subconjunto que é subespaço):
.
Verificação:
Verificação:
- Zero:
tem , logo . - Fechamento por soma: tome
e . Então
que ainda satisfaz
. Logo
.
- Fechamento por escalar: para
,
Conclusão:
é subespaço. Dica rápida: conjuntos definidos por equações lineares homogêneas (sem termo constante), como
, costumam ser subespaços.
Exemplo 2 (não é subespaço):
.
Verificação:
Verificação:
- Zero:
não satisfaz . Logo .
Conclusão imediata:não é subespaço. Observação: equações lineares não-homogêneas (com termo constante diferente de zero) não geram subespaços.
Exemplo 3 (subespaço):
.
Verificação:
Verificação:
- Zero:
então . - Soma: se
e satisfazem e , então
logo
.
- Escalar: para
,
logo
.
Conclusão: é subespaço. Observação: este é o núcleo (kernel) do funcional linear
; núcleos de transformações lineares são sempre subespaços.
Conclusão:
Exemplo 4 (não é subespaço):
.
Verificação:
Verificação:
- Zero:
não tem , então . - Mesmo sem checar mais, falha no primeiro item; portanto não é subespaço.
Exemplo 5 (subespaço: span): seja
,
e
.
Verificação rápida:
Verificação rápida:
- Zero: escolha
e obtém-se , logo . - Soma e escala: combinações lineares fecham naturalmente sob soma e escala (somar duas combinações lineares dá outra combinação linear; multiplicar por escalar também). Portanto
é subespaço (na prática, planos que passam pela origem dados por span são subespaços).
Passo 4
Receita prática (o que fazer rápido na prova, passo a passo):
- Identifique a descrição do subconjunto
. - Verifique se
. Se não estiver, conclua que não é subespaço (economiza tempo). - Se
, verifique algebraicamente fechamento por soma e por escalar. Para isso: - Assuma
com coordenadas genéricas que satisfaçam a condição de definição e calcule ; mostre que a condição permanece verdadeira. - Assuma
e e calcule ; mostre que a condição permanece verdadeira.
- Assuma
- Atalhos úteis:
- Se
é descrito por equações lineares homogêneas (do tipo ), então é subespaço. - Se
é descrito por equações com termo constante não nulo (por exemplo com ), então NÃO é subespaço. - Se
é apresentado como ou como de transformação linear , é subespaço.
- Se
Passo 5
Conclusão sobre o enunciado original: como os exemplos (os subconjuntos a serem verificados) não foram fornecidos no enunciado enviado, não há como verificar cada caso específico. O procedimento e os exemplos didáticos acima mostram exatamente como fazer as verificações quando os subconjuntos forem informados; aplique a receita da Passo 4 a cada subconjunto que o professor indicar.
Resposta
Não é possível verificar porque os subconjuntos (os “exemplos”) não foram fornecidos no enunciado.