Seja \boldsymbol{R}^{3} o conjunto das triplas de números reais x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right), onde a soma é dada por
\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)+\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)=\left(x_{1}+y_{1}, x_{2}+y_{2}, x_{3}+y_{3}\right)
e a multiplicação por escalar por
a \cdot\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(a \cdot x_{1}, a \cdot x_{2}, a \cdot x_{3}\right)
Verifique se cada exemplo é um subespaço de \boldsymbol{R}^{3} :

Passo 1

O enunciado dá claramente o espaço ambiente e as operações:
  • O espaço ambiente é \boldsymbol{R}^{3}, isto é, o conjunto de todas as triplas \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right) com x_{i}\in\mathbb{R}.
  • A soma e a multiplicação por escalar são as usuais:
\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)+\left(y_{1},y_{2},y_{3}\right)=\left(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},x_{3}+y_{3}\right)
a\cdot\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=\left(a x_{1},a x_{2},a x_{3}\right)
O que o enunciado pede: "Verifique se cada exemplo é um subespaço de \boldsymbol{R}^{3}".
Informação importante ausente: o enunciado não listou os exemplos (os subconjuntos de \boldsymbol{R}^{3}) que devem ser verificados. Sem esses subconjuntos, não é possível determinar se cada um é subespaço ou não.

Passo 2

O que significa ser subespaço — critérios práticos (a “ferramenta” que se usa na prova):
Definição prática: um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^3 é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três propriedades:
  1. W contém o vetor nulo \mathbf{0}=(0,0,0).
  2. W é fechado sob soma: para quaisquer u,v\in W tem-se u+v\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: para qualquer u\in W e qualquer a\in\mathbb{R} tem-se a u\in W.
Por que essas três propriedades? Resumo rápido e intuitivo:
  • O espaço vetorial exige que o zero esteja presente e que as operações internas não levem para fora do conjunto. Se essas três condições são verdadeiras, W herda todas as demais propriedades necessárias (associatividade, existência de inverso etc.) por ser um subconjunto do espaço que já tem essas propriedades.
Observação útil (atalho em provas): é suficiente verificar que W\neq\varnothing e que para quaisquer u,v\in W e quaisquer escalares a,b\in\mathbb{R} vale a u + b v \in W. Essa condição implica as três anteriores (coloque a=b=1 e b=0 etc.).

Passo 3

Como aplicar os critérios passo a passo — exemplos ensinando a técnica (resoluções totalmente mastigadas):
Exemplo 1 (subconjunto que é subespaço): W_1=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3 \mid x_3=0\}.
Verificação:
  • Zero: \mathbf{0}=(0,0,0) tem x_3=0, logo \mathbf{0}\in W_1.
  • Fechamento por soma: tome u=(u_1,u_2,0)\in W_1 e v=(v_1,v_2,0)\in W_1. Então
u+v=(u_1+v_1,u_2+v_2,0+0)=(u_1+v_1,u_2+v_2,0),
que ainda satisfaz x_3=0. Logo u+v\in W_1.
  • Fechamento por escalar: para a\in\mathbb{R},
a u = (a u_1, a u_2, a\cdot 0)=(a u_1, a u_2, 0)\in W_1.
Conclusão: W_1 é subespaço. Dica rápida: conjuntos definidos por equações lineares homogêneas (sem termo constante), como x_3=0, costumam ser subespaços.
Exemplo 2 (não é subespaço): W_2=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3 \mid x_3=1\}.
Verificação:
  • Zero: \mathbf{0}=(0,0,0) não satisfaz x_3=1. Logo \mathbf{0}\notin W_2.
    Conclusão imediata: W_2 não é subespaço. Observação: equações lineares não-homogêneas (com termo constante diferente de zero) não geram subespaços.
Exemplo 3 (subespaço): W_3=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3 \mid x_1+x_2+x_3=0\}.
Verificação:
  • Zero: 0+0+0=0 então \mathbf{0}\in W_3.
  • Soma: se u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3) satisfazem u_1+u_2+u_3=0 e v_1+v_2+v_3=0, então
(u+v)_1+(u+v)_2+(u+v)_3=(u_1+v_1)+(u_2+v_2)+(u_3+v_3)=(u_1+u_2+u_3)+(v_1+v_2+v_3)=0+0=0,
logo u+v\in W_3.
  • Escalar: para a\in\mathbb{R},
a u = (a u_1,a u_2,a u_3),\qquad (a u_1)+(a u_2)+(a u_3)=a(u_1+u_2+u_3)=a\cdot 0=0,
logo a u\in W_3.
Conclusão: W_3 é subespaço. Observação: este é o núcleo (kernel) do funcional linear L(x)=x_1+x_2+x_3; núcleos de transformações lineares são sempre subespaços.
Exemplo 4 (não é subespaço): W_4=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3 \mid x_1=1\}.
Verificação:
  • Zero: \mathbf{0} não tem x_1=1, então \mathbf{0}\notin W_4.
  • Mesmo sem checar mais, falha no primeiro item; portanto não é subespaço.
Exemplo 5 (subespaço: span): seja v_1=(1,0,0), v_2=(0,1,0) e W_5=\mathrm{span}\{v_1,v_2\}=\{a v_1 + b v_2 \mid a,b\in\mathbb{R}\}.
Verificação rápida:
  • Zero: escolha a=b=0 e obtém-se \mathbf{0}, logo \mathbf{0}\in W_5.
  • Soma e escala: combinações lineares fecham naturalmente sob soma e escala (somar duas combinações lineares dá outra combinação linear; multiplicar por escalar também). Portanto W_5 é subespaço (na prática, planos que passam pela origem dados por span são subespaços).

Passo 4

Receita prática (o que fazer rápido na prova, passo a passo):
  1. Identifique a descrição do subconjunto W.
  2. Verifique se \mathbf{0}\in W. Se não estiver, conclua que não é subespaço (economiza tempo).
  3. Se \mathbf{0}\in W, verifique algebraicamente fechamento por soma e por escalar. Para isso:
    • Assuma u,v\in W com coordenadas genéricas que satisfaçam a condição de definição e calcule u+v; mostre que a condição permanece verdadeira.
    • Assuma u\in W e a\in\mathbb{R} e calcule a u; mostre que a condição permanece verdadeira.
  4. Atalhos úteis:
    • Se W é descrito por equações lineares homogêneas (do tipo A x = 0), então W é subespaço.
    • Se W é descrito por equações com termo constante não nulo (por exemplo A x = b com b\neq 0), então W NÃO é subespaço.
    • Se W é apresentado como \mathrm{span}\{\,\} ou como \ker(T) de transformação linear T, é subespaço.

Passo 5

Conclusão sobre o enunciado original: como os exemplos (os subconjuntos a serem verificados) não foram fornecidos no enunciado enviado, não há como verificar cada caso específico. O procedimento e os exemplos didáticos acima mostram exatamente como fazer as verificações quando os subconjuntos forem informados; aplique a receita da Passo 4 a cada subconjunto que o professor indicar.

Resposta

Não é possível verificar porque os subconjuntos (os “exemplos”) não foram fornecidos no enunciado.

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