Seja F o espaço de funções reais de números reais, onde a soma é definida como
\left(f_{1}+f_{2}\right)(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)
e a multiplicação por escalar como
\left(a \cdot f_{1}\right)(x)=a \cdot f_{1}(x)
Determine se cada exemplo é um subespaço de F :
O conjunto das funções racionais \frac{f(x)}{g(x)}
onde f(x) e g(x) são polinômios e o grau de f(x) é menor que o grau de g(x);

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • F é o espaço vetorial de todas as funções de \mathbb{R} em \mathbb{R}, com soma e multiplicação por escalar definidas ponto a ponto: (f_1+f_2)(x)=f_1(x)+f_2(x),\qquad (a\cdot f)(x)=a\cdot f(x).
  • Considera-se o conjunto S formado por todas as funções racionais da forma \dfrac{f(x)}{g(x)}, onde f(x) e g(x) são polinômios e \deg f<\deg g.
A pergunta é: o conjunto S é um subespaço de F?

Passo 2

Lembrete rápido e rigoroso sobre o que significa ser subespaço:
  • Para S ser subespaço de F é necessário (e suficiente) que S seja não vazio e satisfaça:
    1. se u,v\in S então u+v\in S (fechamento na soma);
    2. se u\in S e a\in\mathbb{R} então a\cdot u\in S (fechamento na multiplicação por escalar).
  • Antes de qualquer teste, é preciso que todo elemento de S seja, de fato, um elemento de F. Ou seja, cada função em S deve estar definida para todo x\in\mathbb{R}, porque os vetores de F são funções \mathbb{R}\to\mathbb{R}.
Vou explicar com calma: uma função racional \dfrac{f(x)}{g(x)} só é uma função \mathbb{R}\to\mathbb{R} se para todo x\in\mathbb{R} o valor g(x) for diferente de zero, ou então se houver simplificação que remova zeros do denominador. Se existir algum x_0\in\mathbb{R} tal que g(x_0)=0 e a fração não puder ser estendida para esse ponto, então essa expressão não define uma função em todo \mathbb{R} e, portanto, não pertence a F.

Passo 3

Construção de um contraexemplo simples (mostrando que S nem sequer está contido em F):
  • Tome f(x)=1 e g(x)=x. Então \deg f=0 e \deg g=1, logo \deg f<\deg g, portanto a função racional r(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1}{x}pertence ao conjunto descrito (satisfaz a condição sobre os graus).
  • Contudo, r(x)=1/x não está definida em x=0. Ou seja, não existe r(0)\in\mathbb{R}. Logo r não é uma função \mathbb{R}\to\mathbb{R} e, portanto, r\notin F.
Conclusão desta etapa: já vimos um elemento descrito pela condição “ \deg f<\deg g” que não é um elemento de F. Logo o conjunto considerado não é um subconjunto de F.

Passo 4

Implicação lógica final e comentário didático:
  • Como um subespaço precisa ser, primeiramente, um subconjunto do espaço ambiente, e o conjunto das frações \dfrac{f(x)}{g(x)} com \deg f<\deg g contém funções que não estão definidas para todos os x\in\mathbb{R}, esse conjunto não está contido em F.
  • Portanto não há nem necessidade de testar fechamento sob soma ou multiplicação por escalar: se a condição básica de ser subconjunto falha, o conjunto não pode ser subespaço.
  • Observação extra (para fixar a ideia): se a pergunta fosse sobre o subconjunto das funções racionais que realmente estão definidas para todo \mathbb{R} (ou seja, escolher apenas frações cujo denominador não zera em \mathbb{R} ou aquelas que foram estendidas para todo \mathbb{R}), aí a resposta poderia ser diferente e haveria que verificar fechamento sob soma e escala; mas esse não é o enunciado original.

Resposta

Não, não é subespaço de F.

Exercícios relacionados