Seja
o espaço de funções reais de números reais, onde a soma é definida como
e a multiplicação por escalar como
Determine se cada exemplo é um subespaço de
:
O conjunto das funções racionais
onde
e
são polinômios e o grau de
é menor que o grau de
;
O conjunto das funções racionais
onde
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é o espaço vetorial de todas as funções de em , com soma e multiplicação por escalar definidas ponto a ponto: - Considera-se o conjunto
formado por todas as funções racionais da forma , onde e são polinômios e .
A pergunta é: o conjunto
é um subespaço de
?
Passo 2
Lembrete rápido e rigoroso sobre o que significa ser subespaço:
- Para
ser subespaço de é necessário (e suficiente) que seja não vazio e satisfaça: - se
então (fechamento na soma); - se
e então (fechamento na multiplicação por escalar).
- se
- Antes de qualquer teste, é preciso que todo elemento de
seja, de fato, um elemento de . Ou seja, cada função em deve estar definida para todo , porque os vetores de são funções .
Vou explicar com calma: uma função racional
só é uma função
se para todo
o valor
for diferente de zero, ou então se houver simplificação que remova zeros do denominador. Se existir algum
tal que
e a fração não puder ser estendida para esse ponto, então essa expressão não define uma função em todo
e, portanto, não pertence a
.
Passo 3
Construção de um contraexemplo simples (mostrando que
nem sequer está contido em
):
- Tome
e . Então e , logo , portanto a função racional pertence ao conjunto descrito (satisfaz a condição sobre os graus). - Contudo,
não está definida em . Ou seja, não existe . Logo não é uma função e, portanto, .
Conclusão desta etapa: já vimos um elemento descrito pela condição “
” que não é um elemento de
. Logo o conjunto considerado não é um subconjunto de
.
Passo 4
Implicação lógica final e comentário didático:
- Como um subespaço precisa ser, primeiramente, um subconjunto do espaço ambiente, e o conjunto das frações
com contém funções que não estão definidas para todos os , esse conjunto não está contido em . - Portanto não há nem necessidade de testar fechamento sob soma ou multiplicação por escalar: se a condição básica de ser subconjunto falha, o conjunto não pode ser subespaço.
- Observação extra (para fixar a ideia): se a pergunta fosse sobre o subconjunto das funções racionais que realmente estão definidas para todo
(ou seja, escolher apenas frações cujo denominador não zera em ou aquelas que foram estendidas para todo ), aí a resposta poderia ser diferente e haveria que verificar fechamento sob soma e escala; mas esse não é o enunciado original.
Resposta
Não, não é subespaço de
.