Se T: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} é uma transformação linear para a qual existe v \in \mathbb{R}^{n} tal que T(v) \neq 0, determine \operatorname{dim} N(T).

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear T: \mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R} e nos garante que existe algum vetor v\in\mathbb{R}^{n} tal que T(v)\neq0. A pergunta é encontrar \dim N(T), onde N(T) é o núcleo (ou espaço nulo) de T. Para isso, vamos usar o Teorema do Posto e da Nulidade (rank–nullity theorem), que relaciona \dim N(T), \dim \operatorname{Im}(T) e n.

Passo 2

Observamos que \operatorname{Im}(T) é um subespaço de \mathbb{R}. Os únicos subespaços de \mathbb{R} são \{0\} (dimensão 0) e \mathbb{R} (dimensão 1). Como existe v tal que T(v)\neq0, a imagem de T não pode ser apenas \{0\}. Logo,
\dim \operatorname{Im}(T) = 1.

Passo 3

Pelo Teorema do Posto e da Nulidade, temos
\dim N(T) + \dim \operatorname{Im}(T) = n.
Substituindo \dim \operatorname{Im}(T)=1, obtemos
\dim N(T) = n - 1.

Resposta

\dim N(T)=n-1.

Exercícios relacionados