Se
é uma transformação linear para a qual existe
tal que
, determine
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma transformação linear
e nos garante que existe algum vetor
tal que
. A pergunta é encontrar
, onde
é o núcleo (ou espaço nulo) de
. Para isso, vamos usar o Teorema do Posto e da Nulidade (rank–nullity theorem), que relaciona
,
e
.
Passo 2
Observamos que
é um subespaço de
. Os únicos subespaços de
são
(dimensão 0) e
(dimensão 1). Como existe
tal que
, a imagem de
não pode ser apenas
. Logo,
Passo 3
Pelo Teorema do Posto e da Nulidade, temos
Substituindo
, obtemos