Seja
o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a
, com
fixo, sendo a soma definida como
e a multiplicação por escalares definida como
. Encontre um conjunto linearmente independente de vetores que gera cada subespaço:
O subespaço de polinômios ímpares de grau menor ou igual a 5;
O subespaço de polinômios ímpares de grau menor ou igual a 5;
Passo 1
O que o enunciado dá e o que ele pede:
- Dá: o espaço vetorial
dos polinômios de grau menor ou igual a , aqui com . A soma e multiplicação por escalar são as operações usuais em polinômios: e . - Dá também a descrição do subespaço que vamos estudar: "polinômios ímpares de grau menor ou igual a
". Isso significa todos os polinômios tais que . - Pede: encontrar um conjunto de vetores (polinômios) que seja linearmente independente e que gere esse subespaço (ou seja, um gerador linearmente independente — uma base do subespaço).
Passo 2
Escrever a forma geral de um polinômio em
.
Um polinômio arbitrário
pode ser escrito como
onde
são coeficientes quaisquer.
Explicando passo a passo: cada coeficiente
multiplica a potência
. Essa escrita é única para polinômios (ou seja, um polinômio tem uma única sequência de coeficientes), e usaremos isso para comparar coeficientes quando tivermos igualdades de polinômios.
Passo 3
Impor a condição de ser um polinômio ímpar:
, e obter as restrições nos coeficientes.
Calcule
. Usando a forma geral,
A condição de imparidade pede
. Escrevendo o lado direito,
Agora igualamos coeficiente a coeficiente entre
e
. Comparando os termos correspondentes obtemos as condições:
- Para a potência
: , então . - Para
: , que é sempre verdadeira (não impõe restrição a ). - Para
: , então . - Para
: , sempre verdadeira (não impõe restrição a ). - Para
: , então . - Para
: , sempre verdadeira (não impõe restrição a ).
Em palavras: os coeficientes das potências de grau par (
) devem ser zero; os coeficientes das potências ímpares (
) podem ser quaisquer números reais.
Passo 4
Descrever a forma geral dos polinômios ímpares de grau ≤ 5 e interpretar isso em termos de combinação linear.
Pelos resultados do passo anterior, um polinômio ímpar
tem a forma
com
livres.
Explicação didática do que isso significa: isso mostra que qualquer polinômio ímpar de grau ≤ 5 é uma combinação linear dos três polinômios
. Ou seja, o conjunto
gera (ou “gera por combinação linear”) todo o subespaço dos polinômios ímpares em
.
Lembrete prático para prova: quando você identifica que apenas certas potências aparecem (aqui as ímpares até 5), já sabe de cara quais monômios formarão um conjunto gerador.
Passo 5
Provar que
é linearmente independente.
Definição usada (explicação ensinável na prova): um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o polinômio zero é a combinação com todos os coeficientes iguais a zero.
Suponha que existam números
tais que
como polinômio (isto é, a igualdade vale para todo
). Como a escrita de um polinômio por potências de
é única, os coeficientes das potências correspondentes devem ser zero. Comparando coeficientes obtemos
Outra maneira equivalente e didática: fatorando
,
Para que isso seja o polinômio zero para todo
, precisa ser
. Como isso é um polinômio em
com representação única, os coeficientes também devem ser zero, levando a
.
Portanto
é linearmente independente.
Passo 6
Concluir que
gera o subespaço e é linearmente independente, logo é uma base.
Resumo do raciocínio (como você deve escrever na prova): mostramos que todo polinômio ímpar de grau ≤ 5 pode ser escrito como combinação linear de
(portanto esses vetores geram o subespaço) e mostramos que a única combinação linear que dá o polinômio zero tem coeficientes todos nulos (portanto são linearmente independentes). Juntando as duas coisas,
é um conjunto linearmente independente que gera o subespaço — ou seja, é uma base. Além disso, a dimensão desse subespaço é
.
Vai dar tudo certo na prova — memorizando essa ideia fica fácil identificar bases de subespaços de polinômios pares/ímpares: pegue somente as potências pares ou ímpares até o grau máximo permitido.