Seja P_{n} o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a n, com n fixo, sendo a soma definida como \\left(p_{1}+p_{2}\\\right)(x)=p_{1}(x)+p_{2}(x) e a multiplicação por escalares definida como \\left(a \cdot p_{1}\\\right)(x)=a \cdot p_{1}(x). Encontre um conjunto linearmente independente de vetores que gera cada subespaço:
O subespaço de polinômios ímpares de grau menor ou igual a 5;

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede:
  • Dá: o espaço vetorial P_{n} dos polinômios de grau menor ou igual a n, aqui com n=5. A soma e multiplicação por escalar são as operações usuais em polinômios: \left(p_1+p_2\right)(x)=p_1(x)+p_2(x) e \left(a\cdot p\right)(x)=a\cdot p(x).
  • Dá também a descrição do subespaço que vamos estudar: "polinômios ímpares de grau menor ou igual a 5". Isso significa todos os polinômios p\in P_5 tais que p(-x)=-p(x).
  • Pede: encontrar um conjunto de vetores (polinômios) que seja linearmente independente e que gere esse subespaço (ou seja, um gerador linearmente independente — uma base do subespaço).

Passo 2

Escrever a forma geral de um polinômio em P_5.
Um polinômio arbitrário p\in P_5 pode ser escrito como
p(x)=a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + a_5 x^5,
onde a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\in\mathbb{R} são coeficientes quaisquer.
Explicando passo a passo: cada coeficiente a_k multiplica a potência x^k. Essa escrita é única para polinômios (ou seja, um polinômio tem uma única sequência de coeficientes), e usaremos isso para comparar coeficientes quando tivermos igualdades de polinômios.

Passo 3

Impor a condição de ser um polinômio ímpar: p(-x)=-p(x), e obter as restrições nos coeficientes.
Calcule p(-x). Usando a forma geral,
p(-x)=a_0 - a_1 x + a_2 x^2 - a_3 x^3 + a_4 x^4 - a_5 x^5.
A condição de imparidade pede p(-x)=-p(x). Escrevendo o lado direito,
-p(x) = -a_0 - a_1 x - a_2 x^2 - a_3 x^3 - a_4 x^4 - a_5 x^5.
Agora igualamos coeficiente a coeficiente entre p(-x) e -p(x). Comparando os termos correspondentes obtemos as condições:
  • Para a potência x^0: a_0 = -a_0, então a_0=0.
  • Para x^1: -a_1 = -a_1, que é sempre verdadeira (não impõe restrição a a_1).
  • Para x^2: a_2 = -a_2, então a_2=0.
  • Para x^3: -a_3 = -a_3, sempre verdadeira (não impõe restrição a a_3).
  • Para x^4: a_4 = -a_4, então a_4=0.
  • Para x^5: -a_5 = -a_5, sempre verdadeira (não impõe restrição a a_5).
Em palavras: os coeficientes das potências de grau par ( a_0,a_2,a_4 ) devem ser zero; os coeficientes das potências ímpares ( a_1,a_3,a_5 ) podem ser quaisquer números reais.

Passo 4

Descrever a forma geral dos polinômios ímpares de grau ≤ 5 e interpretar isso em termos de combinação linear.
Pelos resultados do passo anterior, um polinômio ímpar p\in P_5 tem a forma
p(x)=a_1 x + a_3 x^3 + a_5 x^5,
com a_1,a_3,a_5\in\mathbb{R} livres.
Explicação didática do que isso significa: isso mostra que qualquer polinômio ímpar de grau ≤ 5 é uma combinação linear dos três polinômios x,\;x^3,\;x^5. Ou seja, o conjunto \{x,x^3,x^5\} gera (ou “gera por combinação linear”) todo o subespaço dos polinômios ímpares em P_5.
Lembrete prático para prova: quando você identifica que apenas certas potências aparecem (aqui as ímpares até 5), já sabe de cara quais monômios formarão um conjunto gerador.

Passo 5

Provar que \{x,x^3,x^5\} é linearmente independente.
Definição usada (explicação ensinável na prova): um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o polinômio zero é a combinação com todos os coeficientes iguais a zero.
Suponha que existam números \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que
\alpha x + \beta x^3 + \gamma x^5 \equiv 0
como polinômio (isto é, a igualdade vale para todo x\in\mathbb{R}). Como a escrita de um polinômio por potências de x é única, os coeficientes das potências correspondentes devem ser zero. Comparando coeficientes obtemos
\alpha = 0,\qquad \beta = 0,\qquad \gamma = 0.
Outra maneira equivalente e didática: fatorando x,
\alpha x + \beta x^3 + \gamma x^5 = x\bigl(\alpha + \beta x^2 + \gamma x^4\bigr).
Para que isso seja o polinômio zero para todo x, precisa ser \alpha + \beta x^2 + \gamma x^4\equiv 0. Como isso é um polinômio em x^2 com representação única, os coeficientes também devem ser zero, levando a \alpha=\beta=\gamma=0.
Portanto \{x,x^3,x^5\} é linearmente independente.

Passo 6

Concluir que \{x,x^3,x^5\} gera o subespaço e é linearmente independente, logo é uma base.
Resumo do raciocínio (como você deve escrever na prova): mostramos que todo polinômio ímpar de grau ≤ 5 pode ser escrito como combinação linear de x,x^3,x^5 (portanto esses vetores geram o subespaço) e mostramos que a única combinação linear que dá o polinômio zero tem coeficientes todos nulos (portanto são linearmente independentes). Juntando as duas coisas, \{x,x^3,x^5\} é um conjunto linearmente independente que gera o subespaço — ou seja, é uma base. Além disso, a dimensão desse subespaço é 3.
Vai dar tudo certo na prova — memorizando essa ideia fica fácil identificar bases de subespaços de polinômios pares/ímpares: pegue somente as potências pares ou ímpares até o grau máximo permitido.

Resposta

\{\,x,\;x^{3},\;x^{5}\,\}

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