Integral indefinida de uma função vetorial
Calcule integral(t^2, cos t, 1t) d t.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida de uma função vetorial l(t^2,cos t,tfrac1tr). O conteúdo que vamos usar é a regra de integração indefinida componente a componente: se f(t)=(f1(t),f2(t),f3(t)), então
integral f(t),dt=l(integral f1(t),dt,;integral f2(t),dt,;integral f3(t),dtr)+C,
onde C é um vetor constante de integração.

Passo 2

Integramos a primeira componente f1(t)=t^2. Usando a fórmula integral t^n,dt=tfract^n+1n+1 para nneq -1, obtemos
integral t^2,dt=t^33

Passo 3

Integramos a segunda componente f2(t)=cos t. Sabemos que integral cos t,dt=sin t, logo
integral cos t,dt=sin t

Passo 4

Integramos a terceira componente f3(t)=tfrac1t. Para tneq 0, integral tfrac1t,dt=lnlvert trvert, portanto
integral 1t,dt=lnlvert trvert

Passo 5

Juntando as três antiderivadas e incluindo o vetor constante de integração C=(C1,C2,C3), obtemos a integral vetorial completa:
integrall(t^2,cos t,tfrac1tr),dt =l(tfract^33,,sin t,,lnlvert trvertr)+C

Resposta

integrall(t^2,cos t,tfrac1tr),dt =l(tfract^33,,sin t,,lnlvert trvertr)+C

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