A: R^{4} \rightarrow R^{3} é a transformação linear definida pela matriz
A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 2 & -3 \\\\ 2 & 1 & -1 & 5 \\\\ 4 & 3 & 3 & -1\end{array}\right].
a) Dado v=(1,-4,3,1) verifique se v \in \mathrm{~N}(A)
b) Determine uma base para o núcleo de A.
c) Determine uma base para a imagem de A.

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear A\colon \mathbb{R}^{4}\to \mathbb{R}^{3} definida pela matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -3\\\\ 2 & 1 & -1 & 5\\\\ 4 & 3 & 3 & -1 \end{pmatrix},
e pede:
a) verificar se v=(1,-4,3,1) pertence ao núcleo de A,
b) determinar uma base de \ker(A),
c) determinar uma base de \mathrm{Im}(A).
Para isso vamos usar o cálculo de A\,v e eliminação de Gauss para resolver A\,x=0, além do critério de colunas-pivô para imagem.

Passo 2

Para ver se v\in \ker(A) calculamos A\,v. As componentes são
\begin{aligned} (A\,v)_1 &= 1\cdot1 + 1\cdot(-4) + 2\cdot3 +(-3)\cdot1 = 1 -4 +6 -3 = 0,\\\ (A\,v)_2 &= 2\cdot1 + 1\cdot(-4) +(-1)\cdot3 +5\cdot1 = 2 -4 -3 +5 = 0,\\\ (A\,v)_3 &= 4\cdot1 + 3\cdot(-4) + 3\cdot3 +(-1)\cdot1 = 4 -12 +9 -1 = 0. \end{aligned}
Logo A\,v = (0,0,0), ou seja, v\in \ker(A).

Passo 3

Para achar \ker(A) resolvemos o sistema homogêneo A\,x=0. A matriz aumentada é
\bigl[\,A\mid 0\bigr] = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -3 & 0\\\\ 2 & 1 & -1 & 5 & 0\\\\ 4 & 3 & 3 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
Aplicando eliminação de Gauss obtemos a forma escalonada
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 & 8 & 0\\\\ 0 & 1 & 5 & -11 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Daí x_{1}=3x_{3}-8x_{4} e x_{2}=-5x_{3}+11x_{4}. Tomando x_{3}=s, x_{4}=t obtemos a solução geral
x = \bigl(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\bigr) = s\,(3,-5,1,0) \;+\; t\,(-8,11,0,1).
Portanto uma base de \ker(A) é
\{(3,-5,1,0),\;(-8,11,0,1)\}.

Passo 4

Para \mathrm{Im}(A) usamos que as colunas-pivô na eliminação ficaram nas posições 1 e 2, então uma base é dada pelas duas primeiras colunas de A:
\{(1,2,4),\;(1,1,3)\}.

Resposta

(a) Sim, v\in \ker(A) pois A\,v=(0,0,0).
(b) Base de \ker(A): \{(3,-5,1,0),\;(-8,11,0,1)\}.
(c) Base de \mathrm{Im}(A): \{(1,2,4),\;(1,1,3)\}.

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