9. Resolva o problema.
Uma partícula move-se em uma reta e tem aceleração dada por
Sabendo que
e
Escreva uma equação para a posição da partícula em função de t. Dê a posição da partícula em metros quando
Informe apenas o valor númérico de sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá a aceleração da partícula e duas condições sobre a posição. As perguntas são: encontrar a equação da posição
e calcular a posição quando
. Informações dadas:
Passo 2
Entender o que relaciona as quantidades: aceleração, velocidade e posição. A aceleração
é a derivada da velocidade
, isto é,
A velocidade
é a derivada da posição
,
Matematicamente, para obter
a partir de
fazemos uma integral indefinida:
onde
é uma constante de integração que representa a velocidade inicial desconhecida. Para obter
integramos
:
onde
é outra constante de integração que representa a posição inicial (ou ajuste da posição).
Passo 3
Vamos integrar
para achar
. Começando de
integramos termo a termo. Lembre que
e
. Assim,
Aqui
é uma constante real que precisaremos determinar usando condições sobre
depois.
Passo 4
Agora integramos
para obter
. Integramos cada termo:
,
, e
. Portanto
onde
é a segunda constante de integração.
Passo 5
Usamos as condições dadas para determinar
e
. Primeiro,
. Avaliando
em
:
Como
, segue que
Passo 6
Agora usamos
. Avaliando
em
, lembrando que
e
:
Como
, temos
Passo 7
Substituímos
e
de volta na expressão de
. Assim a equação da posição é
Passo 8
Agora calculamos
. Primeiro calcule os valores das funções trigonométricas:
Substituindo em
:
Simplificando o termo linear em
:
Portanto