9. Resolva o problema.

Uma partícula move-se em uma reta e tem aceleração dada por
a(t)=10 \sin t+3 \cos t
Sabendo que
s(0)=0
e
s(2 \pi)=12
Escreva uma equação para a posição da partícula em função de t. Dê a posição da partícula em metros quando
t=\frac{3}{2} \pi
Informe apenas o valor númérico de sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a aceleração da partícula e duas condições sobre a posição. As perguntas são: encontrar a equação da posição s(t) e calcular a posição quando t=\dfrac{3}{2}\pi. Informações dadas:
a(t)=10\sin t+3\cos t,
s(0)=0,
s(2\pi)=12.

Passo 2

Entender o que relaciona as quantidades: aceleração, velocidade e posição. A aceleração a(t) é a derivada da velocidade v(t), isto é,
a(t)=v'(t).
A velocidade v(t) é a derivada da posição s(t),
v(t)=s'(t).
Matematicamente, para obter v(t) a partir de a(t) fazemos uma integral indefinida:
v(t)=\int a(t)\,dt + C_1,
onde C_1 é uma constante de integração que representa a velocidade inicial desconhecida. Para obter s(t) integramos v(t):
s(t)=\int v(t)\,dt + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração que representa a posição inicial (ou ajuste da posição).

Passo 3

Vamos integrar a(t) para achar v(t). Começando de
a(t)=10\sin t+3\cos t,
integramos termo a termo. Lembre que \int \sin t\,dt=-\cos t e \int \cos t\,dt=\sin t. Assim,
v(t)=\int\bigl(10\sin t+3\cos t\bigr)\,dt + C_1 = -10\cos t+3\sin t + C_1.
Aqui C_1 é uma constante real que precisaremos determinar usando condições sobre s(t) depois.

Passo 4

Agora integramos v(t) para obter s(t). Integramos cada termo: \int -10\cos t\,dt=-10\sin t, \int 3\sin t\,dt=-3\cos t, e \int C_1\,dt = C_1 t. Portanto
s(t) = -10\sin t -3\cos t + C_1 t + C_2,
onde C_2 é a segunda constante de integração.

Passo 5

Usamos as condições dadas para determinar C_1 e C_2. Primeiro, s(0)=0. Avaliando s(t) em t=0:
s(0) = -10\sin 0 -3\cos 0 + C_1\cdot 0 + C_2 = -3 + C_2.
Como s(0)=0, segue que
-3 + C_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad C_2 = 3.

Passo 6

Agora usamos s(2\pi)=12. Avaliando s(t) em t=2\pi, lembrando que \sin 2\pi=0 e \cos 2\pi=1:
s(2\pi) = -10\cdot 0 -3\cdot 1 + C_1(2\pi) + 3 = -3 + 2\pi C_1 + 3 = 2\pi C_1.
Como s(2\pi)=12, temos
2\pi C_1 = 12 \quad\Rightarrow\quad C_1 = \frac{12}{2\pi} = \frac{6}{\pi}.

Passo 7

Substituímos C_1 e C_2 de volta na expressão de s(t). Assim a equação da posição é
s(t) = -10\sin t -3\cos t + \frac{6}{\pi}\,t + 3.

Passo 8

Agora calculamos s\!\left(\dfrac{3}{2}\pi\right). Primeiro calcule os valores das funções trigonométricas:
\sin\!\left(\dfrac{3}{2}\pi\right) = -1,\qquad \cos\!\left(\dfrac{3}{2}\pi\right) = 0.
Substituindo em s(t):
s\!\left(\dfrac{3}{2}\pi\right) = -10\cdot(-1) -3\cdot 0 + \frac{6}{\pi}\cdot\frac{3}{2}\pi + 3.
Simplificando o termo linear em t:
\frac{6}{\pi}\cdot\frac{3}{2}\pi = \frac{6\cdot 3\pi}{2\pi} = \frac{18}{2} = 9.
Portanto
s\!\left(\dfrac{3}{2}\pi\right) = 10 + 0 + 9 + 3 = 22.

Resposta

22

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