Seja p(x)=(c-a-1)+(b-c+5) x+(a-b-2) x^2+(a+1)^3. Encontre a, b, c para que p(x) seja invertível em R[x].

Passo 1

O enunciado dá a família de polinômios
p(x)=(c-a-1)+(b-c+5)x+(a-b-2)x^2+(a+1)^3
em R[x] e pede a,b,c tais que p(x) seja invertível. Em R[x], um polinômio é invertível se, e somente se, for uma constante não nula.

Passo 2

Para p(x) ser constante, os coeficientes de x e x^2 devem ser zero. Isso gera o sistema
b - c + 5 = 0, a - b - 2 = 0

Passo 3

Resolvendo
a - b - 2 = 0 implies b = a - 2,
b - c + 5 = 0 implies c = b + 5 = (a - 2) + 5 = a + 3

Passo 4

Com esses valores, o polinômio reduz-se à constante
p(x) = (c - a - 1) + (a+1)^3 = l((a+3)-a-1r) + (a+1)^3 = 2 + (a+1)^3
Para ser invertível, precisamos p(x)neq0, ou seja,
(a+1)^3 + 2 neq 0 Long<=ftrightarrow a+1 neq -raiz[3]2 Long<=ftrightarrow a neq -1 - raiz[3]2

Resposta

b = a - 2, c = a + 3, a neq -1 - raiz[3]2

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