Seja
domínio de integridade ordenado. Mostre que:
se
e
, então
se
Passo 1
O enunciado diz que
é um domínio de integridade ordenado e pede para mostrar que, para quaisquer
, se
então
Vamos usar as propriedades de um anel ordenado sem divisores de zero: em especial, que soma e produto preservam ordem positiva.
Passo 2
Das hipóteses temos
Ou seja, as diferenças
e
são elementos positivos de
.
Passo 3
Como
é ordenado e sem divisores de zero, o produto de dois elementos positivos também é positivo. Assim,
Passo 4
Basta agora expandir o produto:
Portanto
Passo 5
Reagrupando termos na desigualdade acima, obtemos
que é justamente o que queríamos demonstrar.
Resposta
Dessa forma, em qualquer domínio de integridade ordenado
, se
e
então