Seja A domínio de integridade ordenado. Mostre que:
se a>b e c>d, então a c+b d>a d+b c

Passo 1

O enunciado diz que A é um domínio de integridade ordenado e pede para mostrar que, para quaisquer a,b,c,din A, se
a>b e c>d
então
ac + bd ;>; ad + bc
Vamos usar as propriedades de um anel ordenado sem divisores de zero: em especial, que soma e produto preservam ordem positiva.

Passo 2

Das hipóteses temos
a>b ;Longrightarrow; a - b > 0,
c>d ;Longrightarrow; c - d > 0
Ou seja, as diferenças (a-b) e (c-d) são elementos positivos de A.

Passo 3

Como A é ordenado e sem divisores de zero, o produto de dois elementos positivos também é positivo. Assim,
(a - b),(c - d) > 0

Passo 4

Basta agora expandir o produto:
(a - b)(c - d) = ac ;-; ad ;-; bc ;+; bd
Portanto
ac - ad - bc + bd > 0

Passo 5

Reagrupando termos na desigualdade acima, obtemos
ac + bd ;-;(ad + bc) > 0 Longrightarrow ac + bd > ad + bc,
que é justamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

Dessa forma, em qualquer domínio de integridade ordenado A, se a>b e c>d então
ac + bd > ad + bc

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