Seja
.
(a) Determine
.
(b) Existe valor de
que tornaria
contínua? Justifique.
(a) Determine
(b) Existe valor de
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede duas coisas:
(a) Calcular
.
(b) Dizer se existe um valor para
que torne
contínua em
e justificar.
Informações relevantes que o enunciado fornece: a expressão algébrica de
(note que, como escrita,
não está definida em
porque o denominador fica zero).
Passo 2
Primeiro passo técnico: fatorar o numerador
.
Explicação da fatoração (passo a passo): buscamos dois números cujo produto seja
(o termo constante) e cuja soma seja
(o coeficiente de
). Esses números são
e
porque
e
. Assim:
Passo 3
Usando a fatoração, reescrevemos
:
Aqui é importante observar uma coisa: para
podemos cancelar o fator
no numerador e denominador, obtendo
Mas atenção: a expressão original não define
(denominador zero), então essa igualdade vale apenas para
diferentes de
.
Passo 4
Agora a parte do limite. Conceito usado: se duas funções coincidem em todo um vizinhança de um ponto, exceto possivelmente no próprio ponto (ou seja, são iguais para
próximos de 3,
), então têm o mesmo limite quando
. Aqui
coincide com
para todos
próximos de
com
. Portanto
A função
é uma função polinomial (linear), contínua em todo lugar, logo o limite é obtido apenas substituindo
:
Passo 5
Interpretação do resultado e resposta à pergunta (b). Definição de continuidade em
: uma função
é contínua em
se (i)
está definido, (ii)
existe, e (iii)
.
No caso de
dada originalmente, a condição (i) falha porque
não está definido. Porém já sabemos da Parte (a) que
. Assim, se atribuirmos
então (i) passa a ser verdadeira, (ii) o limite existe (é
), e (iii) será satisfeita porque por construção
. Consequentemente, definindo
removemos uma descontinuidade removível (um “buraco”) e
fica contínua em
.
Resposta
(a)
(b) Sim. Definindo
a função fica contínua em
.