Seja p(x)=\frac{x^{2}-4 x+3}{x-3}.
(a) Determine \lim _{x \rightarrow 3} p(x).
(b) Existe valor de p(3) que tornaria p contínua? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função racional
p(x)=\frac{x^{2}-4x+3}{x-3}
e pede duas coisas:
(a) Calcular \lim_{x\to 3} p(x).
(b) Dizer se existe um valor para p(3) que torne p contínua em x=3 e justificar.
Informações relevantes que o enunciado fornece: a expressão algébrica de p(x) (note que, como escrita, p não está definida em x=3 porque o denominador fica zero).

Passo 2

Primeiro passo técnico: fatorar o numerador x^{2}-4x+3.
Explicação da fatoração (passo a passo): buscamos dois números cujo produto seja 3 (o termo constante) e cuja soma seja -4 (o coeficiente de x). Esses números são -1 e -3 porque (-1)\cdot(-3)=3 e (-1)+(-3)=-4. Assim:
x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3).

Passo 3

Usando a fatoração, reescrevemos p(x):
p(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{x-3}.
Aqui é importante observar uma coisa: para x\neq 3 podemos cancelar o fator (x-3) no numerador e denominador, obtendo
p(x)=x-1\quad\text{para }x\neq 3.
Mas atenção: a expressão original não define p(3) (denominador zero), então essa igualdade vale apenas para x diferentes de 3.

Passo 4

Agora a parte do limite. Conceito usado: se duas funções coincidem em todo um vizinhança de um ponto, exceto possivelmente no próprio ponto (ou seja, são iguais para x próximos de 3, x\neq3), então têm o mesmo limite quando x\to 3. Aqui p(x) coincide com x-1 para todos x próximos de 3 com x\neq3. Portanto
\lim_{x\to 3} p(x)=\lim_{x\to 3} (x-1).
A função x-1 é uma função polinomial (linear), contínua em todo lugar, logo o limite é obtido apenas substituindo x=3:
\lim_{x\to 3} (x-1)=3-1=2.

Passo 5

Interpretação do resultado e resposta à pergunta (b). Definição de continuidade em x=3: uma função f é contínua em x=3 se (i) f(3) está definido, (ii) \lim_{x\to 3} f(x) existe, e (iii) \lim_{x\to 3} f(x)=f(3).
No caso de p dada originalmente, a condição (i) falha porque p(3) não está definido. Porém já sabemos da Parte (a) que \lim_{x\to 3} p(x)=2. Assim, se atribuirmos
p(3)=2,
então (i) passa a ser verdadeira, (ii) o limite existe (é 2), e (iii) será satisfeita porque por construção p(3)=2=\lim_{x\to3}p(x). Consequentemente, definindo p(3)=2 removemos uma descontinuidade removível (um “buraco”) e p fica contínua em x=3.

Resposta

(a) \displaystyle \lim_{x\to 3} p(x)=2.
(b) Sim. Definindo \displaystyle p(3)=2 a função fica contínua em x=3.

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