Seja P(x) um polinômio de grau n \in \mathbb{N} dado por P(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+ \ldots+a_{1} x+a_{0}, onde a_{n} \neq 0. Mostre que
\lim _{x \rightarrow \infty} P(x)=\lim _{x \rightarrow \infty} a_{n} x^{n} \text { e } \lim _{x \rightarrow-\infty} P(x)=\lim _{x \rightarrow-\infty} a_{n} x^{n} .

Passo 1

O enunciado dá um polinômio
P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0},
queremos mostrar que
\lim_{x\to\infty}P(x)=\lim_{x\to\infty}a_{n}x^{n} \quad\text{e}\quad \lim_{x\to-\infty}P(x)=\lim_{x\to-\infty}a_{n}x^{n}.
Vamos usar propriedades de limite (produto de limites) e o fato de que termos de menor grau vão a zero quando divididos por x^n.

Passo 2

Fatoramos x^n em cada termo de P(x). Definimos
Q(x)=a_{n}+\frac{a_{n-1}}{x}+\frac{a_{n-2}}{x^{2}}+\cdots+\frac{a_{1}}{x^{n-1}}+\frac{a_{0}}{x^{n}},
de modo que
P(x)=x^{n}\,Q(x).

Passo 3

Analisamos \lim_{x\to\pm\infty}Q(x). Para cada k=1,2,\dots,n vale
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{a_{n-k}}{x^{k}}=0
porque potências de x no denominador crescem sem limite. Logo
\lim_{x\to\pm\infty}Q(x)=a_{n}+0+0+\cdots+0=a_{n}.

Passo 4

Usamos a propriedade de que, se \lim f(x) e \lim g(x) existem em \pm\infty, então
\lim(f\cdot g)=\bigl(\lim f\bigr)\,\bigl(\lim g\bigr).
Aplicando a P(x)=x^{n}Q(x), obtemos
\lim_{x\to\pm\infty}P(x) =\Bigl(\lim_{x\to\pm\infty}x^{n}\Bigr)\,\Bigl(\lim_{x\to\pm\infty}Q(x)\Bigr) =\Bigl(\lim_{x\to\pm\infty}x^{n}\Bigr)\,a_{n} =\lim_{x\to\pm\infty}a_{n}x^{n}.

Resposta

\lim_{x\to\infty}P(x)=\lim_{x\to\infty}a_{n}x^{n} \quad\text{e}\quad \lim_{x\to-\infty}P(x)=\lim_{x\to-\infty}a_{n}x^{n}.

Exercícios relacionados