1. Seja P_{2}(x, y) o polinômio de Taylor de ordem 2 de f(x, y)=x sen y em volta de (0,0). Mostre que
\left|f(x, y)-P_{2}(x, y)\right|<\frac{|y|^{2}}{2}\left[|x|+\frac{1}{3}|y|\right]

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x\sin y e pede que, sendo P_{2}(x,y) o polinômio de Taylor de ordem 2 de f em volta de (0,0), mostremos a desigualdade
\left|f(x, y)-P_{2}(x, y)\right|<\frac{|y|^{2}}{2}\left[|x|+\frac{1}{3}|y|\right].
Informações relevantes que temos: o ponto de expansão é (0,0); precisamos obter P_{2}(x,y) (polinômio de Taylor de ordem 2) e então estimar o resto f(x,y)-P_{2}(x,y).

Passo 2

Primeiro vamos calcular P_{2}(x,y). Lembre que o polinômio de Taylor de ordem 2 de uma função f em torno de (0,0) é
P_{2}(x,y)=f(0,0)+f_{x}(0,0)\,x+f_{y}(0,0)\,y+\frac{1}{2}\bigl(f_{xx}(0,0)\,x^{2}+2f_{xy}(0,0)\,xy+f_{yy}(0,0)\,y^{2}\bigr).
Agora calculamos derivadas parciais de f(x,y)=x\sin y:
f_{x}(x,y)=\sin y,\qquad f_{y}(x,y)=x\cos y.
Segundas derivadas:
f_{xx}(x,y)=0,\qquad f_{xy}(x,y)=\cos y,\qquad f_{yy}(x,y)=-x\sin y.
Avaliaremos todas em (0,0):
f(0,0)=0,\quad f_{x}(0,0)=\sin 0=0,\quad f_{y}(0,0)=0\cdot\cos 0=0,
f_{xx}(0,0)=0,\quad f_{xy}(0,0)=\cos 0=1,\quad f_{yy}(0,0)=-0\cdot\sin 0=0.
Substituindo na fórmula de P_{2} obtemos
P_{2}(x,y)=0+0\cdot x+0\cdot y+\frac{1}{2}\bigl(0\cdot x^{2}+2\cdot 1\cdot xy+0\cdot y^{2}\bigr)=xy.
Comentário didático: portanto o polinômio de Taylor de ordem 2 é simplesmente P_{2}(x,y)=xy. Isso faz sentido: f é linear em x e a primeira contribuição não nula envolvendo y até grau total 2 vem do termo xy.

Passo 3

Calculemos o resto:
f(x,y)-P_{2}(x,y)=x\sin y - xy = x\bigl(\sin y - y\bigr).
Logo a questão reduz-se a obter uma boa estimativa para \bigl|\sin y - y\bigr| e multiplicá‑la por |x|.

Passo 4

Vamos provar a desigualdade auxiliar
\bigl|\sin y - y\bigr|\le\frac{y^{2}}{2}\qquad\text{para todo }y\in\mathbb{R}.
Fazemos por casos (isso é padrão quando queremos uma estimativa global que funciona tanto para y pequenos quanto para y grandes).
Caso A: |y|\le 3.
Usamos o resto de Taylor em uma variável (forma de Lagrange). Para a função \sin t existe \xi entre 0 e y tal que
\sin y - y = \frac{\sin^{(3)}(\xi)}{3!}\,y^{3} = -\frac{\cos\xi}{6}\,y^{3}.
Daí
\bigl|\sin y - y\bigr| = \frac{|\cos\xi|}{6}\,|y|^{3}\le\frac{|y|^{3}}{6}.
Como |y|\le 3, temos \dfrac{|y|^{3}}{6}\le\dfrac{|y|^{2}}{2} (porque multiplicando ambos os lados por 6/|y|^{2} |y|\le 3). Assim, para |y|\le 3 vale
\bigl|\sin y - y\bigr|\le\frac{|y|^{2}}{2}.
Caso B: |y|\ge 3.
Usamos uma estimativa simples pelo triângulo:
\bigl|\sin y - y\bigr|\le |\sin y| + |y| \le 1 + |y|.
Agora a função g(t)=\dfrac{t^{2}}{2}-t-1 satisfaz g'(t)=t-1 e g(3)=\dfrac{9}{2}-3-1=\tfrac{1}{2}>0, e g é crescente para t>1. Portanto, para todo t\ge 3 temos g(t)\ge g(3)>0, ou seja
\frac{t^{2}}{2}\ge t+1 \quad\text{quando }t\ge 3.
Substituindo t=|y| obtemos \dfrac{|y|^{2}}{2}\ge 1+|y|, e assim
\bigl|\sin y - y\bigr|\le 1+|y|\le\frac{|y|^{2}}{2}.
Juntando os dois casos, para todo y\in\mathbb{R} temos
\bigl|\sin y - y\bigr|\le\frac{|y|^{2}}{2}.
Comentário didático: a ideia foi usar a aproximação por Taylor para y pequenos (dando ordem y^{3}) e a estimativa básica |\sin y|\le 1 para y grandes; essas duas coberturas se sobrepõem e dão a desigualdade global.

Passo 5

Voltando ao resto:
\bigl|f(x,y)-P_{2}(x,y)\bigr| = |x|\,\bigl|\sin y - y\bigr| \le |x|\,\frac{|y|^{2}}{2}.
Finalmente, como \dfrac{|y|^{3}}{6}\ge 0, temos
|x|\,\frac{|y|^{2}}{2}\le\frac{|y|^{2}}{2}\Bigl(|x|+\frac{|y|}{3}\Bigr).
Compondo as desigualdades obtemos exatamente
\bigl|f(x,y)-P_{2}(x,y)\bigr|<\frac{|y|^{2}}{2}\Bigl(|x|+\frac{|y|}{3}\Bigr).
Mensagem de incentivo: vimos que o polinômio de ordem 2 é simples ( xy) e que a estimação do resto dá para fazer com desigualdades elementares — é uma técnica que cai bastante em prova.

Resposta

\left|f(x, y)-P_{2}(x, y)\right|<\frac{|y|^{2}}{2}\left[|x|+\frac{1}{3}|y|\right]

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