Informações relevantes que temos: o ponto de expansão é (0,0); precisamos obter P_{2}(x,y) (polinômio de Taylor de ordem 2) e então estimar o resto f(x,y)-P_{2}(x,y).
Passo 2
Primeiro vamos calcular P_{2}(x,y). Lembre que o polinômio de Taylor de ordem 2 de uma função f em torno de (0,0) é
Comentário didático: portanto o polinômio de Taylor de ordem 2 é simplesmente P_{2}(x,y)=xy. Isso faz sentido: f é linear em x e a primeira contribuição não nula envolvendo y até grau total 2 vem do termo xy.
Passo 3
Calculemos o resto:
f(x,y)-P_{2}(x,y)=x\sin y - xy = x\bigl(\sin y - y\bigr).
Logo a questão reduz-se a obter uma boa estimativa para \bigl|\sin y - y\bigr| e multiplicá‑la por |x|.
Passo 4
Vamos provar a desigualdade auxiliar
\bigl|\sin y - y\bigr|\le\frac{y^{2}}{2}\qquad\text{para todo }y\in\mathbb{R}.
Fazemos por casos (isso é padrão quando queremos uma estimativa global que funciona tanto para y pequenos quanto para y grandes).
Caso A: |y|\le 3.
Usamos o resto de Taylor em uma variável (forma de Lagrange). Para a função \sin t existe \xi entre 0 e y tal que
\sin y - y = \frac{\sin^{(3)}(\xi)}{3!}\,y^{3} = -\frac{\cos\xi}{6}\,y^{3}.
Daí
\bigl|\sin y - y\bigr| = \frac{|\cos\xi|}{6}\,|y|^{3}\le\frac{|y|^{3}}{6}.
Como |y|\le 3, temos \dfrac{|y|^{3}}{6}\le\dfrac{|y|^{2}}{2} (porque multiplicando ambos os lados por 6/|y|^{2} dá |y|\le 3). Assim, para |y|\le 3 vale
Agora a função g(t)=\dfrac{t^{2}}{2}-t-1 satisfaz g'(t)=t-1 e g(3)=\dfrac{9}{2}-3-1=\tfrac{1}{2}>0, e g é crescente para t>1. Portanto, para todo t\ge 3 temos g(t)\ge g(3)>0, ou seja
\frac{t^{2}}{2}\ge t+1 \quad\text{quando }t\ge 3.
Substituindo t=|y| obtemos \dfrac{|y|^{2}}{2}\ge 1+|y|, e assim
\bigl|\sin y - y\bigr|\le 1+|y|\le\frac{|y|^{2}}{2}.
Juntando os dois casos, para todo y\in\mathbb{R} temos
\bigl|\sin y - y\bigr|\le\frac{|y|^{2}}{2}.
Comentário didático: a ideia foi usar a aproximação por Taylor para y pequenos (dando ordem y^{3}) e a estimativa básica |\sin y|\le 1 para y grandes; essas duas coberturas se sobrepõem e dão a desigualdade global.
Passo 5
Voltando ao resto:
\bigl|f(x,y)-P_{2}(x,y)\bigr| = |x|\,\bigl|\sin y - y\bigr| \le |x|\,\frac{|y|^{2}}{2}.
Mensagem de incentivo: vimos que o polinômio de ordem 2 é simples (xy) e que a estimação do resto dá para fazer com desigualdades elementares — é uma técnica que cai bastante em prova.