Use o método dos multiplicadores de Lagrange para achar os pontos críticos de
com a restrição
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
sujeitos à restrição
.\n
Informações dadas:\n
Informações dadas:\n
- A função objetivo é
.\n - A restrição é
.\n - O método exigido é o dos multiplicadores de Lagrange (usar um multiplicador
e as equações de estacionaridade com a restrição).\n
O que se precisa devolver: todos os pontosna circunferência que satisfazem as condições de Lagrange (os pontos críticos sob a restrição).
Passo 2
Princípio dos multiplicadores de Lagrange (explicação didática e intuitiva):\n
Quando queremos otimizar sujeita à restrição
, procuramos pontos onde os vetores gradiente de
e de
são paralelos, porque na restrição (uma curva) a direção tangente anula variações admissíveis, então qualquer variação de
deve estar na direção normal da curva — que é dada por
. Essa condição se escreve como
Quando queremos otimizar
onde
é o multiplicador de Lagrange (um número que ajusta a escala entre os gradientes).\n
Agora calculamos os gradientes explicitamente:\n
Agora calculamos os gradientes explicitamente:\n
Passo 3
Escrevendo as equações de Lagrange e a restrição obtém-se o sistema:
Vou manipular as duas primeiras equações para eliminar
e achar relações entre
e
.
Passo 4
Multiplico lado a lado as duas primeiras equações para aproveitar
:
Agora há duas possibilidades:
ou
. Vou tratar cada caso separadamente.
Passo 5
Caso
: podemos dividir ambos os lados por
e obter
Logo
Trato primeiro
. Substituindo em
dá
ou seja
. Aplicando a restrição:
Portanto obtemos os pontos
e
.
Passo 6
Agora
. Substituindo em
dá
ou seja
. Pela restrição:
Assim obtemos os pontos
e
.
Passo 7
Caso
: isso significa que ou
ou
.\n
Se , a restrição dá
então
. Mas verifique as equações de Lagrange:\n
a primeira equação é . Se
o lado direito é
, então a equação exigiria
, que contradiz
. Portanto
não fornece solução compatível.\n
Analogamente, se a segunda equação
exigiria
, o que não satisfaz a restrição
. Logo não há soluções com
.\n
Conclusão: os únicos pontos críticos são os quatro encontrados no caso .
Se
a primeira equação é
Analogamente, se
Conclusão: os únicos pontos críticos são os quatro encontrados no caso