Use o método dos multiplicadores de Lagrange para achar os pontos críticos de \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathrm{xy} com a restrição x^{2}+y^{2}=8

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de \mathrm{f}(\mathrm{x},\mathrm{y})=\mathrm{xy} sujeitos à restrição \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=8.\n
Informações dadas:\n
  • A função objetivo é \mathrm{f}(\mathrm{x},\mathrm{y})=\mathrm{xy}.\n
  • A restrição é \mathrm{g}(\mathrm{x},\mathrm{y})=\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}-8=0.\n
  • O método exigido é o dos multiplicadores de Lagrange (usar um multiplicador \lambda e as equações de estacionaridade com a restrição).\n
    O que se precisa devolver: todos os pontos (\mathrm{x},\mathrm{y}) na circunferência \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=8 que satisfazem as condições de Lagrange (os pontos críticos sob a restrição).

Passo 2

Princípio dos multiplicadores de Lagrange (explicação didática e intuitiva):\n
Quando queremos otimizar \mathrm{f}(\mathrm{x},\mathrm{y}) sujeita à restrição \mathrm{g}(\mathrm{x},\mathrm{y})=0, procuramos pontos onde os vetores gradiente de \mathrm{f} e de \mathrm{g} são paralelos, porque na restrição (uma curva) a direção tangente anula variações admissíveis, então qualquer variação de \mathrm{f} deve estar na direção normal da curva — que é dada por \nabla \mathrm{g}. Essa condição se escreve como
\nabla \mathrm{f}(\mathrm{x},\mathrm{y}) = \lambda \,\nabla \mathrm{g}(\mathrm{x},\mathrm{y})
onde \lambda é o multiplicador de Lagrange (um número que ajusta a escala entre os gradientes).\n
Agora calculamos os gradientes explicitamente:\n
\nabla \mathrm{f}(\mathrm{x},\mathrm{y}) = \left(\frac{\partial \mathrm{f}}{\partial \mathrm{x}},\frac{\partial \mathrm{f}}{\partial \mathrm{y}}\right) = (\mathrm{y},\mathrm{x})
\nabla \mathrm{g}(\mathrm{x},\mathrm{y}) = \left(\frac{\partial \mathrm{g}}{\partial \mathrm{x}},\frac{\partial \mathrm{g}}{\partial \mathrm{y}}\right) = (2\mathrm{x},2\mathrm{y})

Passo 3

Escrevendo as equações de Lagrange e a restrição obtém-se o sistema:
\mathrm{y} = \lambda \, (2\mathrm{x})
\mathrm{x} = \lambda \, (2\mathrm{y})
\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=8
Vou manipular as duas primeiras equações para eliminar \lambda e achar relações entre \mathrm{x} e \mathrm{y}.

Passo 4

Multiplico lado a lado as duas primeiras equações para aproveitar \mathrm{xy}:
(\mathrm{y})(\mathrm{x}) = (\lambda 2\mathrm{x})(\lambda 2\mathrm{y})
\mathrm{xy} = 4\lambda^{2}\,\mathrm{xy}
Agora há duas possibilidades: \mathrm{xy}=0 ou \mathrm{xy}\neq 0. Vou tratar cada caso separadamente.

Passo 5

Caso \mathrm{xy}\neq 0: podemos dividir ambos os lados por \mathrm{xy} e obter
1 = 4\lambda^{2}
Logo
\lambda = \pm \tfrac{1}{2}.
Trato primeiro \lambda = \tfrac{1}{2}. Substituindo em \mathrm{y}=2\lambda \mathrm{x}
\mathrm{y} = 2\cdot\frac{1}{2}\mathrm{x} = \mathrm{x},
ou seja \mathrm{y}=\mathrm{x}. Aplicando a restrição:
\mathrm{x}^{2}+\mathrm{x}^{2}=8 \Rightarrow 2\mathrm{x}^{2}=8 \Rightarrow \mathrm{x}^{2}=4 \Rightarrow \mathrm{x}=\pm 2.
Portanto obtemos os pontos (\mathrm{x},\mathrm{y})=(2,2) e (\mathrm{x},\mathrm{y})=(-2,-2).

Passo 6

Agora \lambda = -\tfrac{1}{2}. Substituindo em \mathrm{y}=2\lambda \mathrm{x}
\mathrm{y} = 2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\mathrm{x} = -\mathrm{x},
ou seja \mathrm{y}=-\mathrm{x}. Pela restrição:
\mathrm{x}^{2}+(-\mathrm{x})^{2}=8 \Rightarrow 2\mathrm{x}^{2}=8 \Rightarrow \mathrm{x}^{2}=4 \Rightarrow \mathrm{x}=\pm 2.
Assim obtemos os pontos (\mathrm{x},\mathrm{y})=(2,-2) e (\mathrm{x},\mathrm{y})=(-2,2).

Passo 7

Caso \mathrm{xy}=0: isso significa que ou \mathrm{x}=0 ou \mathrm{y}=0.\n
Se \mathrm{x}=0, a restrição dá \mathrm{y}^{2}=8 então \mathrm{y}=\pm 2\sqrt{2}. Mas verifique as equações de Lagrange:\n
a primeira equação é \mathrm{y}=2\lambda \mathrm{x}. Se \mathrm{x}=0 o lado direito é 0, então a equação exigiria \mathrm{y}=0, que contradiz \mathrm{y}=\pm 2\sqrt{2}. Portanto \mathrm{x}=0 não fornece solução compatível.\n
Analogamente, se \mathrm{y}=0 a segunda equação \mathrm{x}=2\lambda \mathrm{y} exigiria \mathrm{x}=0, o que não satisfaz a restrição \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=8. Logo não há soluções com \mathrm{xy}=0.\n
Conclusão: os únicos pontos críticos são os quatro encontrados no caso \mathrm{xy}\neq 0.

Resposta

(2,2)\n
(-2,-2)\n
(2,-2)\n
(-2,2)

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