Seja o paralelepípedo definido pelos vetores
\vec{u}=(1,0,2), \quad \vec{v}=(0,1,1), \quad \vec{w}=(2,1,0) .
Calcule o volume usando o produto misto:
V=|\vec{u} \cdot(\vec{v} \times \vec{w})| .

Passo 1

O enunciado fornece três vetores que geram um paralelepípedo:
\vec{u}=(1,0,2),\qquad \vec{v}=(0,1,1),\qquad \vec{w}=(2,1,0).
O que é pedido: calcular o volume do paralelepípedo usando o produto misto, isto é,
V=|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})|.
Listei acima todos os dados numéricos do enunciado e a expressão que devemos avaliar.

Passo 2

Entendendo as operações que vamos usar — explicação didática e concreta.
  • Produto vetorial (cross product) \vec{v}\times\vec{w}: é um vetor perpendicular aos vetores \vec{v} e \vec{w}. Para calcular as componentes usa-se a regra do determinante 3×3 com os versores \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}. Se \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) e \vec{w}=(w_1,w_2,w_3), então
\vec{v}\times\vec{w}=\big(v_2w_3-v_3w_2,\; v_3w_1-v_1w_3,\; v_1w_2-v_2w_1\big).
Cada entrada é uma diferença de produtos — calcule passo a passo.
  • Produto escalar (dot product) \vec{u}\cdot\vec{a}: se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{a}=(a_1,a_2,a_3), então
\vec{u}\cdot\vec{a}=u_1a_1+u_2a_2+u_3a_3.
É a soma dos produtos das componentes correspondentes.
  • Volume: geometricamente, |\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})| é a área da base (dada por |\vec{v}\times\vec{w}|) vezes a componente de \vec{u} na direção perpendicular a essa base; o valor pode ser negativo se a orientação for contrária, por isso tomamos o valor absoluto.

Passo 3

Calcular \vec{v}\times\vec{w} passo a passo usando a fórmula das componentes. Tomando \vec{v}=(0,1,1) e \vec{w}=(2,1,0):
Primeira componente:
(\vec{v}\times\vec{w})_1 = v_2 w_3 - v_3 w_2 = 1\cdot 0 - 1\cdot 1 = 0-1 = -1.
Segunda componente:
(\vec{v}\times\vec{w})_2 = v_3 w_1 - v_1 w_3 = 1\cdot 2 - 0\cdot 0 = 2-0 = 2.
Terceira componente:
(\vec{v}\times\vec{w})_3 = v_1 w_2 - v_2 w_1 = 0\cdot 1 - 1\cdot 2 = 0-2 = -2.
Portanto
\vec{v}\times\vec{w}=(-1,\,2,\,-2).

Passo 4

Agora calculamos o produto escalar \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}). Com \vec{u}=(1,0,2) e \vec{v}\times\vec{w}=(-1,2,-2):
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) =1\cdot(-1) + 0\cdot 2 + 2\cdot(-2).
Calcule cada termo:
1\cdot(-1) = -1,\qquad 0\cdot 2 = 0,\qquad 2\cdot(-2) = -4.
Somando:
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = -1 + 0 + (-4) = -5.

Passo 5

Aplicar o valor absoluto para obter o volume (volume é sempre não negativo). A expressão fica:
V = \big|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\big| = \big|-5\big|.

Passo 6

Comentário final curto e motivador: fizemos a conta seguindo a definição do produto vetorial e do produto escalar; esse procedimento é padrão em provas — calcule o cross product componente a componente, depois faça o dot product e tome o módulo. Está feito passo a passo, você consegue repetir com outros vetores sem calculadora.

Resposta

V=5

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