Seja o paralelepípedo definido pelos vetores
Calcule o volume usando o produto misto:
Passo 1
O enunciado fornece três vetores que geram um paralelepípedo:
O que é pedido: calcular o volume do paralelepípedo usando o produto misto, isto é,
Listei acima todos os dados numéricos do enunciado e a expressão que devemos avaliar.
Passo 2
Entendendo as operações que vamos usar — explicação didática e concreta.
- Produto vetorial (cross product)
: é um vetor perpendicular aos vetores e . Para calcular as componentes usa-se a regra do determinante 3×3 com os versores . Se e , então
Cada entrada é uma diferença de produtos — calcule passo a passo.
- Produto escalar (dot product)
: se e , então
É a soma dos produtos das componentes correspondentes.
- Volume: geometricamente,
é a área da base (dada por ) vezes a componente de na direção perpendicular a essa base; o valor pode ser negativo se a orientação for contrária, por isso tomamos o valor absoluto.
Passo 3
Calcular
passo a passo usando a fórmula das componentes. Tomando
e
:
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Portanto
Passo 4
Agora calculamos o produto escalar
. Com
e
:
Calcule cada termo:
Somando:
Passo 5
Aplicar o valor absoluto para obter o volume (volume é sempre não negativo). A expressão fica:
Passo 6
Comentário final curto e motivador: fizemos a conta seguindo a definição do produto vetorial e do produto escalar; esse procedimento é padrão em provas — calcule o cross product componente a componente, depois faça o dot product e tome o módulo. Está feito passo a passo, você consegue repetir com outros vetores sem calculadora.