Encontre o cosseno do ângulo entre os vetores
\vec{u}=(1,1,0), \quad \vec{v}=(2,0,2) .

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pedido: encontrar o cosseno do ângulo entre dois vetores.
  • Dados: os vetores
\vec{u}=(1,1,0),\qquad \vec{v}=(2,0,2).
Vou usar esses componentes diretamente nas fórmulas padrão de produto escalar e norma de vetores.

Passo 2

Qual fórmula usar e por quê (explicação didática).
  • A fórmula que relaciona produto escalar e o ângulo entre vetores é
\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta,
onde:
  • \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar entre \vec{u} e \vec{v};
  • \|\vec{u}\| é a norma (comprimento) do vetor \vec{u};
  • \|\vec{v}\| é a norma do vetor \vec{v};
  • \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}.
  • Isolando \cos\theta obtemos a fórmula prática que vamos usar na prova:
\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}.
Explicando cada peça:
  • O produto escalar de dois vetores em \mathbb{R}^3 com componentes (a_1,a_2,a_3) e (b_1,b_2,b_3) é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
  • A norma (módulo) de um vetor \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) é
\|\vec{a}\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.
Essas fórmulas são fáceis de aplicar sem calculadora porque envolvem somas e raízes quadradas simples.

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v} passo a passo usando as componentes dadas:
\vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot2 + 1\cdot0 + 0\cdot2.
Agora somando:
\vec{u}\cdot\vec{v}=2 + 0 + 0 = 2.

Passo 4

Calcular a norma de \vec{u}, \|\vec{u}\|, passo a passo:
\|\vec{u}\|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{1+1+0}=\sqrt{2}.
Expliquei: soma dos quadrados das componentes e então raiz quadrada.

Passo 5

Calcular a norma de \vec{v}, \|\vec{v}\|, passo a passo:
\|\vec{v}\|=\sqrt{2^2+0^2+2^2}=\sqrt{4+0+4}=\sqrt{8}.
Podemos simplificar \sqrt{8} como \sqrt{8}=2\sqrt{2} (porque 8=4\cdot2 e \sqrt{4}=2).

Passo 6

Substituir tudo na fórmula de \cos\theta e simplificar cuidadosamente:
\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|} =\frac{2}{\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}}.
Calcule o denominador:
\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=2\cdot(\sqrt{2}\sqrt{2})=2\cdot 2=4.
Portanto
\cos\theta=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.

Passo 7

Interpretação rápida (útil na prova): \cos\theta=\dfrac{1}{2} significa que o ângulo \theta entre os vetores é \theta=60^\circ (ou \theta=\dfrac{\pi}{3} radianos), caso você precise do ângulo em vez do cosseno. Mas o enunciado pediu só o cosseno.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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