Encontre o cosseno do ângulo entre os vetores
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Pedido: encontrar o cosseno do ângulo entre dois vetores.
- Dados: os vetores
Vou usar esses componentes diretamente nas fórmulas padrão de produto escalar e norma de vetores.
Passo 2
Qual fórmula usar e por quê (explicação didática).
- A fórmula que relaciona produto escalar e o ângulo entre vetores é
onde:
-
é o produto escalar entre e ; -
é a norma (comprimento) do vetor ; -
é a norma do vetor ; -
é o ângulo entre e . - Isolando
obtemos a fórmula prática que vamos usar na prova:
Explicando cada peça:
- O produto escalar de dois vetores em
com componentes e é
- A norma (módulo) de um vetor
é
Essas fórmulas são fáceis de aplicar sem calculadora porque envolvem somas e raízes quadradas simples.
Passo 3
Calcular o produto escalar
passo a passo usando as componentes dadas:
Agora somando:
Passo 4
Calcular a norma de
,
, passo a passo:
Expliquei: soma dos quadrados das componentes e então raiz quadrada.
Passo 5
Calcular a norma de
,
, passo a passo:
Podemos simplificar
como
(porque
e
).
Passo 6
Substituir tudo na fórmula de
e simplificar cuidadosamente:
Calcule o denominador:
Portanto
Passo 7
Interpretação rápida (útil na prova):
significa que o ângulo
entre os vetores é
(ou
radianos), caso você precise do ângulo em vez do cosseno. Mas o enunciado pediu só o cosseno.