Calcule o produto vetorial dos vetores
\vec{u}=(1,2,3), \quad \vec{v}=(2,1,0) .
Em seguida, determine a área do paralelogramo definido por \vec{u} e \vec{v}, usando:
A=\|\vec{u} \times \vec{v}\| .

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\vec{u}=(1,2,3),\qquad \vec{v}=(2,1,0),
e pede duas coisas:
  • Calcular o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}.
  • Determinar a área do paralelogramo definido por \vec{u} e \vec{v} usando A=\|\vec{u}\times\vec{v}\|.

Passo 2

Lembra do que é o produto vetorial entre dois vetores em \mathbb{R}^3: ele é um vetor perpendicular aos dois vetores dados, com direção dada pela regra da mão direita e magnitude igual à área do paralelogramo formado por eles. Para calcular componente a componente, usamos a fórmula (cada componente é um determinante 2×2):
\vec{u}\times\vec{v}=\bigl(u_2 v_3 - u_3 v_2,\; u_3 v_1 - u_1 v_3,\; u_1 v_2 - u_2 v_1\bigr),
onde, se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), cada u_i e v_i é a coordenada correspondente.

Passo 3

Agora aplico a fórmula às coordenadas de \vec{u} e \vec{v}. Identificando:
u_1=1,\; u_2=2,\; u_3=3,\qquad v_1=2,\; v_2=1,\; v_3=0.
Calculo cada componente:
  • Primeira componente:
u_2 v_3 - u_3 v_2 = 2\cdot 0 - 3\cdot 1 = 0 - 3 = -3.
  • Segunda componente:
u_3 v_1 - u_1 v_3 = 3\cdot 2 - 1\cdot 0 = 6 - 0 = 6.
  • Terceira componente:
u_1 v_2 - u_2 v_1 = 1\cdot 1 - 2\cdot 2 = 1 - 4 = -3.

Passo 4

Portanto o produto vetorial é o vetor cujas componentes obtivemos:
\vec{u}\times\vec{v}=(-3,\,6,\,-3).
Observação rápida (útil na prova): esse vetor pode ser escrito como fator comum -3 multiplicando (1,-2,1), mas a forma coordenada (-3,6,-3) é a resposta direta.

Passo 5

Agora a área do paralelogramo é a norma (magnitude) desse vetor. A norma de um vetor (a,b,c) é
\|(a,b,c)\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}.
Aplicando a \vec{u}\times\vec{v}=(-3,6,-3):
\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\sqrt{(-3)^2+6^2+(-3)^2}=\sqrt{9+36+9}=\sqrt{54}.
Simplificando \sqrt{54}=\sqrt{9\cdot 6}=3\sqrt{6}. Então a área vale 3\sqrt{6}.

Resposta

\vec{u}\times\vec{v}=(-3,6,-3)
A=3\sqrt{6}

Exercícios relacionados