Seja a parametrização no plano da circunferência C de raio r:
(x, y)=sigma(t)=(r cos t, r sin t), t in[0,2 pi)
Calcule o comprimento integralC d s.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento da circunferência de raio r usando a parametrização sigma(t)=(rcos t,rsin t). O conteúdo principal é o cálculo de comprimento de curva via integral de linha, e vamos precisar da definição de ds=|sigma'(t)|,dt.

Passo 2

Primeiro, derivamos sigma(t). Temos sigma'(t)=(-rsin t,;rcos t). Para calcular o comprimento, precisamos do módulo dessa derivada. Aplicamos a fórmula ds=|sigma'(t)|,dt. O módulo é
|sigma'(t)|=raiz(-rsin t)^2+(rcos t)^2=raizr^2(sin^2 t+cos^2 t)=r

Passo 3

Montamos a integral de comprimento:
integralCds=integral0^2pi|sigma'(t)|,dt=integral0^2pir,dt

Passo 4

Por fim, basta integrar r de 0 a 2pi. A integral é
rintegral0^2pidt=rl[tr]0^2pi=2pi r

Resposta

2\pi r

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