Seja uma placa condutora plana aterrada de dimensões infinitas que se encontra no plano yz de um certo sistema de coordenadas. Se uma partícula de carga
(negativa) se encontra na posição rx̂ sendo r
. (a) Qual a carga total induzida sobre a placa? (b) Qual a força eletrostática sobre a carga? (c) Qual o trabalho necessário para mover a carga até o infinito?
Passo 1
O enunciado dá uma placa condutora plana infinita, aterrada, localizada no plano
, ou seja no plano
. Há uma partícula de carga negativa
localizada em
com
(ou seja, a carga está à direita da placa, a uma distância
do plano). O enunciado pede três coisas:
(a) a carga total induzida sobre a placa;
(b) a força eletrostática sobre a carga;
(c) o trabalho necessário para mover a carga até o infinito.
(a) a carga total induzida sobre a placa;
(b) a força eletrostática sobre a carga;
(c) o trabalho necessário para mover a carga até o infinito.
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Idéia principal que vou usar (explicada passo a passo): substituir a presença da placa aterrada por uma carga imagem simétrica em relação ao plano, de modo que o potencial na superfície
fique igual a zero. Essa é uma técnica que não altera o campo na região
e permite calcular carga induzida, força e energia usando interações entre cargas pontuais.
Detalhe do cálculo do valor da carga imagem:
- Denoto
. - Coloco uma carga imagem
no ponto simétrico . - O potencial em um ponto do plano
devido às duas cargas (real e imagem) é, pelos dois termos com mesma distância ,
- Como a placa está aterrada, o potencial no plano deve ser
. Logo , ou seja
- Aqui
, portanto
Conclusão: para representar corretamente a placa aterrada, colocamos uma carga imagem
em
.
Passo 3
Carga total induzida sobre a placa (parte (a)) — explicação física e resultado:
- A carga imagem
é a construção matemática que reproduz exatamente, na região , o efeito do campo produzido pela distribuição de carga induzida na superfície do condutor. Assim, a soma de toda a carga induzida sobre o condutor (que fica na região ) é numericamente igual à carga imagem . - Como achamos
, a carga total induzida sobre a placa é
(Interpretação física: a carga negativa
atrai cargas positivas da terra para a placa, resultando em
induzida.)
Passo 4
Força eletrostática sobre a carga (parte (b)) — cálculo passo a passo:
- Pelo princípio da imagem, o campo na região
é igual ao campo produzido pela carga real em e pela carga imagem em . - Portanto a força sobre a carga real é a força coulombiana exercida pela carga imagem (como se ela fosse real).
- Distância entre carga real e imagem:
. - Produto das cargas:
. - Lei de Coulomb (vetorial): força que atua sobre a carga real devida à imagem é
onde
é o versor que aponta da carga real para a carga imagem. Aqui
(a imagem está à esquerda), e
.
- Substituindo:
- Usando
obtemos
Interpretação: a força é dirigida no sentido
, ou seja, atraindo a carga para a placa, com magnitude
.
Passo 5
Trabalho necessário para mover a carga até o infinito (parte (c)) — raciocínio e contas:
- A força eletrostática é conservativa; o trabalho externo necessário para levar a carga de
até contra a atração é igual ao aumento da energia potencial (ou ao valor absoluto da energia potencial inicial, já que ). - Podemos calcular o trabalho integrando a força (magnitude) ao longo do caminho. A componente radial (no eixo
) da força que puxa a carga para o plano é quando a carga está em ; a força externa necessária para contrariar isso tem magnitude . - Trabalho para levar de
a :
- Substituindo
,
Observação física:
(é preciso gastar energia para remover a carga da atração da placa). Esse resultado também coincide com
se calcularmos a energia potencial inicial via
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)