Seja uma placa condutora plana aterrada de dimensões infinitas que se encontra no plano yz de um certo sistema de coordenadas. Se uma partícula de carga -Q (negativa) se encontra na posição rx̂ sendo r >0. (a) Qual a carga total induzida sobre a placa? (b) Qual a força eletrostática sobre a carga? (c) Qual o trabalho necessário para mover a carga até o infinito?

Passo 1

O enunciado dá uma placa condutora plana infinita, aterrada, localizada no plano yz, ou seja no plano x=0. Há uma partícula de carga negativa -Q localizada em \,r\hat{x}\, com r>0 (ou seja, a carga está à direita da placa, a uma distância r do plano). O enunciado pede três coisas:
(a) a carga total induzida sobre a placa;
(b) a força eletrostática sobre a carga;
(c) o trabalho necessário para mover a carga até o infinito.
Informações relevantes dadas:
\text{placa: } x=0,\\ \text{aterrada (potencial }V=0\text{)},\\ \text{infinita;}
\text{carga real: } q=\,-Q\\ \text{em } x=+r.

Passo 2

Idéia principal que vou usar (explicada passo a passo): substituir a presença da placa aterrada por uma carga imagem simétrica em relação ao plano, de modo que o potencial na superfície x=0 fique igual a zero. Essa é uma técnica que não altera o campo na região x>0 e permite calcular carga induzida, força e energia usando interações entre cargas pontuais.
Detalhe do cálculo do valor da carga imagem:
  • Denoto k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}.
  • Coloco uma carga imagem q' no ponto simétrico x=-r.
  • O potencial em um ponto do plano x=0 devido às duas cargas (real e imagem) é, pelos dois termos com mesma distância r,
V( x=0 ) = k\frac{q}{r} + k\frac{q'}{r} = \frac{k}{r}(q+q').
  • Como a placa está aterrada, o potencial no plano deve ser V( x=0)=0. Logo q+q'=0, ou seja
q'=-q.
  • Aqui q=\,-Q, portanto
q' = -(-Q) = +Q.
Conclusão: para representar corretamente a placa aterrada, colocamos uma carga imagem +Q em x=-r.

Passo 3

Carga total induzida sobre a placa (parte (a)) — explicação física e resultado:
  • A carga imagem q' é a construção matemática que reproduz exatamente, na região x>0, o efeito do campo produzido pela distribuição de carga induzida na superfície do condutor. Assim, a soma de toda a carga induzida sobre o condutor (que fica na região x\le 0) é numericamente igual à carga imagem q'.
  • Como achamos q' = +Q, a carga total induzida sobre a placa é
\boxed{+Q.}
(Interpretação física: a carga negativa -Q atrai cargas positivas da terra para a placa, resultando em +Q induzida.)

Passo 4

Força eletrostática sobre a carga (parte (b)) — cálculo passo a passo:
  • Pelo princípio da imagem, o campo na região x>0 é igual ao campo produzido pela carga real q=-Q em x=+r e pela carga imagem q'=+Q em x=-r.
  • Portanto a força sobre a carga real é a força coulombiana exercida pela carga imagem (como se ela fosse real).
  • Distância entre carga real e imagem: d=2r.
  • Produto das cargas: q\,q' = (-Q)(+Q) = -Q^{2}.
  • Lei de Coulomb (vetorial): força que atua sobre a carga real devida à imagem é
\mathbf{F} = k\frac{q\,q'}{d^{2}}\\ \hat{u},
onde \hat{u} é o versor que aponta da carga real para a carga imagem. Aqui \hat{u} = -\hat{x} (a imagem está à esquerda), e d^{2}=(2r)^{2}=4r^{2}.
  • Substituindo:
\mathbf{F} = k\frac{-Q^{2}}{4r^{2}}(-\hat{x}) = -\;k\frac{Q^{2}}{4r^{2}}\;\hat{x}.
  • Usando k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} obtemos
\boxed{\mathbf{F} = -\dfrac{1}{16\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{Q^{2}}{r^{2}}\;\hat{x}.}
Interpretação: a força é dirigida no sentido -\hat{x}, ou seja, atraindo a carga para a placa, com magnitude F=\dfrac{1}{16\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q^{2}}{r^{2}}.

Passo 5

Trabalho necessário para mover a carga até o infinito (parte (c)) — raciocínio e contas:
  • A força eletrostática é conservativa; o trabalho externo necessário para levar a carga de x=r até x=\infty contra a atração é igual ao aumento da energia potencial (ou ao valor absoluto da energia potencial inicial, já que U(\infty)=0).
  • Podemos calcular o trabalho integrando a força (magnitude) ao longo do caminho. A componente radial (no eixo x) da força que puxa a carga para o plano é F_x = -k\dfrac{Q^{2}}{4x^{2}} quando a carga está em x; a força externa necessária para contrariar isso tem magnitude k\dfrac{Q^{2}}{4x^{2}}.
  • Trabalho para levar de x=r a x=\infty:
W=\int_{r}^{\infty} k\frac{Q^{2}}{4x^{2}}\,dx = k\frac{Q^{2}}{4}\left[-\frac{1}{x}\right]_{r}^{\infty} = k\frac{Q^{2}}{4}\cdot\frac{1}{r}.
  • Substituindo k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0},
\boxed{W = \dfrac{1}{16\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{Q^{2}}{r}.}
Observação física: W>0 (é preciso gastar energia para remover a carga da atração da placa). Esse resultado também coincide com -U_{\text{inicial}} se calcularmos a energia potencial inicial via U=\tfrac{1}{2}qV_{\text{imagem}}.

Resposta

(a) +Q
(b) \displaystyle \mathbf{F} = -\dfrac{1}{16\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{Q^{2}}{r^{2}}\;\hat{x}
(c) \displaystyle W = \dfrac{1}{16\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{Q^{2}}{r}

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