Seja o plano \beta que contém os pontos não colineares A=(3,4,-1), B= (1,3,-2) e C=(2,2,-1). Determine a equação geral de \beta.

Passo 1

O enunciado solicita determinar a equação geral do plano \beta que passa por três pontos não colineares A=(3,4,-1), B=(1,3,-2) e C=(2,2,-1). O conteúdo é geometria analítica no espaço, e precisaremos calcular um vetor normal ao plano usando produto vetorial e depois usar a forma ponto-normal para achar a equação na forma geral ax+by+cz+d=0.

Passo 2

Primeiro encontramos dois vetores sobre o plano \beta, por exemplo
\overrightarrow{AB}=B - A = (1-3,\;3-4,\;-2-(-1)) = (-2,-1,-1),
\overrightarrow{AC}=C - A = (2-3,\;2-4,\;-1-(-1)) = (-1,-2,0).

Passo 3

O vetor normal \mathbf{n} ao plano é dado pelo produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Calculamos
\mathbf{n} =\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ -2&-1&-1\\\\ -1&-2&0 \end{vmatrix} =(-2,1,3).

Passo 4

Usando a forma ponto-normal do plano com \mathbf{n}=(-2,1,3) e o ponto A=(3,4,-1), temos
-2(x-3)+1(y-4)+3(z+1)=0.
Expandindo os termos:
-2x+6 + y-4 + 3z+3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad -2x + y + 3z + 5 = 0.
Multiplicando por -1 para deixar o coeficiente de x positivo, obtemos
2x - y - 3z - 5 = 0.

Resposta

A equação geral do plano \beta é
2x - y - 3z - 5 = 0.

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