Seja r uma reta que passa pelos pontos \mathrm{P}=(1,2) e \mathrm{Q}=(-1,4). Determine a equação vetorial de r.
Passo 1
O enunciado pede a equação vetorial da reta r que passa pelos pontos \mathrm{P}=(1,2) e \mathrm{Q}=(-1,4). O conteúdo aqui é “equação paramétrica/vetorial de reta em \mathbb{R}^2” e, para resolver, vamos usar um ponto dado (por exemplo \mathrm{P}) e um vetor direção obtido pela diferença \overrightarrow{PQ}.
Passo 2
A forma geral da equação vetorial de uma reta que passa por um ponto P_0 e tem vetor direção v é
r(t)=P_0 + t\,v,\quad t\in\mathbb{R}.
Passo 3
Calculamos o vetor direção v subtraindo as coordenadas de \mathrm{P} das de \mathrm{Q}:
v = \overrightarrow{PQ} = Q - P = (-1 - 1,\;4 - 2) = (-2,\,2).
Passo 4
Escolhendo P_0 = (1,2) e v = (-2,2) na forma geral, obtemos
r(t) = (1,2) + t\,(-2,2),
que em coordenadas paramétricas fica
\begin{cases} x = 1 - 2t,\\\ y = 2 + 2t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.