Seja o polígono A B C D E F G côncavo, cujos vértices representam parte de uma estrutura de uma embarcação, com as seguintes coordenadas: A(3,1), B(5,2), C(7,3), D(6,8), E(4,6), F(2,10) e G(1,5). Um engenheiro naval precisou averiguar a compatibilidade da área dessa estrutura à embarcação na qual seria instalada. Assim, assinale a opção que apresenta o valor da área dessa estrutura em unidade de área.
(A) 39
(B) 29
(C) 19
(D) 10
(E) 9

Passo 1

O enunciado dá um polígono côncavo de vértices
A(3,1),\;B(5,2),\;C(7,3),\;D(6,8),\;E(4,6),\;F(2,10),\;G(1,5)
e pede a área dessa região.
Conteúdo: uso da fórmula do polígono (shoelace) para calcular área.

Passo 2

Aplicamos a fórmula de Gauss (shoelace):
\text{Área} = \tfrac12\Bigl|\sum_{i=1}^{n}x_i y_{i+1}\;-\;\sum_{i=1}^{n}y_i x_{i+1}\Bigr|Á
em que o ponto n+1 é o ponto 1 (fechamento do polígono).
Calculamos primeiro
\sum x_i\,y_{i+1} =3\cdot2 +5\cdot3 +7\cdot8 +6\cdot6 +4\cdot10 +2\cdot5 +1\cdot1 =164.

Passo 3

Agora
\sum y_i\,x_{i+1} =1\cdot5 +2\cdot7 +3\cdot6 +8\cdot4 +6\cdot2 +10\cdot1 +5\cdot3 =106.
Logo
\text{Área} = \tfrac12\,|164 -106| = \tfrac12\cdot58 =29.Á

Resposta

29

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