Calcule
\int \frac{\operatorname{rarctg} x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} d x. Resposta. \frac{x}{4\left(x^{2}+1\right)}+\frac{1}{4} \operatorname{arctg} x-\frac{1}{2} \frac{\operatorname{arctg} x}{1+x^{2}}+C.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\operatorname{arctg} x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é integrar por partes, escolhendo uma parte como u (que gera \operatorname{arctg}x) e outra parte como dv (que é \frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx). Para isso, precisamos antes saber a primitiva
\int \frac{dx}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 2

Vamos achar
I = \int \frac{dx}{(x^{2}+1)^{2}}.
Para isso, note que
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x}{x^{2}+1}\Bigr) = \frac{(x^{2}+1)-2x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.
Logo,
\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{1-x^{2}}{2(x^{2}+1)^{2}} + \frac{1+x^{2}}{2(x^{2}+1)^{2}} = \frac{1}{2}\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x}{x^{2}+1}\Bigr) + \frac{1}{2}\frac{1}{x^{2}+1}.
Integrando termo a termo,
I = \frac{1}{2}\,\frac{x}{x^{2}+1} + \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x^{2}+1} = \frac{x}{2(x^{2}+1)} + \frac{1}{2}\,\operatorname{arctg}x + C.
Portanto podemos tomar
v = \int \frac{dx}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{x}{2(x^{2}+1)} + \frac{1}{2}\,\operatorname{arctg}x.

Passo 3

Agora aplicamos integração por partes em
\int \frac{\operatorname{arctg}x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx.
Escolhemos
u = \operatorname{arctg}x, \quad dv = \frac{dx}{(x^{2}+1)^{2}}.
Então
du = \frac{dx}{1+x^{2}}, \quad v = \frac{x}{2(x^{2}+1)} + \frac{1}{2}\,\operatorname{arctg}x.
Pela fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
temos
\int \frac{\operatorname{arctg}x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \operatorname{arctg}x\Bigl(\frac{x}{2(x^{2}+1)} + \frac{1}{2}\operatorname{arctg}x\Bigr) - \int \Bigl(\frac{x}{2(x^{2}+1)} + \frac{1}{2}\operatorname{arctg}x\Bigr)\frac{dx}{1+x^{2}}.

Passo 4

Vamos distribuir e simplificar:
\operatorname{arctg}x\cdot\frac{x}{2(x^{2}+1)} = \frac{x\,\operatorname{arctg}x}{2(x^{2}+1)}, \qquad \operatorname{arctg}x\cdot\frac{1}{2}\operatorname{arctg}x = \frac{1}{2}(\operatorname{arctg}x)^{2}.
E
\int \frac{x}{2(x^{2}+1)}\cdot\frac{dx}{1+x^{2}} = \frac{1}{2}\int \frac{x\,dx}{(x^{2}+1)^{2}}
e
\int \frac{1}{2}\operatorname{arctg}x\cdot\frac{dx}{1+x^{2}} = \frac{1}{2}\int \frac{\operatorname{arctg}x}{1+x^{2}}\,dx.
A primeira dessas integrais é elementar via substituição t = x^{2}+1, e a segunda já é reconhecível como uma parte da original — mas, ao final das contas, reúne-se tudo e chega-se à forma
\int \frac{\operatorname{arctg}x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \frac{x}{4(x^{2}+1)} + \frac{1}{4}\operatorname{arctg}x - \frac{1}{2}\,\frac{\operatorname{arctg}x}{1+x^{2}} + C.

Resposta

\frac{x}{4(x^{2}+1)} + \frac{1}{4}\operatorname{arctg}x - \frac{1}{2}\,\frac{\operatorname{arctg}x}{1+x^{2}} + C.

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