QUUESTÃO 05: Seja um cabo formado por 19 fios de cobre com 1 mm de raio cada fio. Calcule a resistência CA do cabo por quilômetro e a 70^{\circ} \mathrm{C}, para uma corrente de elétrica de freqüência 500 kHz . Dados do material cobre: \rho_{\mathrm{Cu}, 20 \mathrm{C}}=1,7 \times 10^{-8} \Omega m; \alpha_{C u, 20 \mathrm{C}}=3,9 \times 10^{-3}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} ; \mu_{r, C u}=1.

Passo 1

O enunciado pede a resistência em corrente alternada por quilômetro de um cabo formado por 19 fios de cobre de raio 1 mm, à temperatura de 70\circC e à frequência de 500 kHz. O material é cobre com \rho_{20^\circ C}=1,7\times10^{-8}\,\Omega\,m, \alpha=3,9\times10^{-3}\,^\circ C^{-1} e \mu_{r}=1.
Vamos calcular primeiro a resistividade a 70\circC, depois a resistência ôhmica CC de um fio, a profundidade de penetração (skin depth) e finalmente a resistência CA de um fio e do cabo todo.

Passo 2

Cálculo da resistividade do cobre a 70\circC usando a lei de variação linear
\rho_{70} \;=\;\rho_{20}\,\bigl(1+\alpha\,(70-20)\bigr)
Substituindo
\rho_{70} =1,7\times10^{-8}\,\bigl(1+3,9\times10^{-3}\times50\bigr) =1,7\times10^{-8}\times1{,}195 \approx2,03\times10^{-8}\,\Omega\,m.

Passo 3

Resistência CC por metro de um fio de raio a=1\text{ mm}
R_{\mathrm{CC},1m} =\frac{\rho_{70}}{\pi a^2} =\frac{2,03\times10^{-8}}{\pi\,(1\times10^{-3})^2} \approx6,47\times10^{-3}\,\Omega/m.
Logo em 1 km:
R_{\mathrm{CC},1km} =6,47\times10^{-3}\times1000 \approx6,47\;\Omega.

Passo 4

Cálculo da profundidade de penetração \delta em 500 kHz
\omega=2\pi f=2\pi\times500\times10^3\;\mathrm{rad/s}, \qquad \mu_0=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H/m},
\delta =\sqrt{\frac{2\,\rho_{70}}{\omega\,\mu_0\,\mu_r}} =\sqrt{\frac{2\times2,03\times10^{-8}}{2\pi\times500\times10^3\times4\pi\times10^{-7}}} \approx1,01\times10^{-4}\,m =0,101\;mm.

Passo 5

Resistência CA aproximada de um fio (raio a\gg\delta)
Para um condutor cilíndrico em alta frequência vale
R_{\mathrm{CA},1m} \approx R_{\mathrm{CC},1m}\,\frac{a}{2\,\delta}.
Substituindo a=1\times10^{-3}\,m e \delta=1,01\times10^{-4}\,m:
\frac{a}{2\delta} =\frac{1\times10^{-3}}{2\times1,01\times10^{-4}} \approx4,93,
R_{\mathrm{CA},1m} \approx6,47\times10^{-3}\times4,93 \approx3,19\times10^{-2}\,\Omega/m.
Em 1 km:
R_{\mathrm{CA},1km\text{ (um fio)}} =3,19\times10^{-2}\times1000 \approx31,9\;\Omega.

Passo 6

Resistência CA do cabo completo com 19 fios em paralelo
R_{\mathrm{cabo},1km} =\frac{R_{\mathrm{CA},1km\\ \text{(um fio)}}}{19} =\frac{31,9}{19} \approx1,68\;\Omega.

Resposta

R_{\mathrm{CA}} do cabo por quilômetro a 70^\circ C e 500 kHz é aproximadamente
\boxed{1,68\;\Omega/km.}

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