Seja uma população X: N(80,26) e retira-se uma amostra de tamanho 25. Calcule: \mathrm{P}(78<\overline{\mathrm{x}}<81)
Passo 1
O enunciado diz que a população é X \sim N(80,26) e que foi retirada uma amostra de tamanho 25. O que se pede é a probabilidade
\mathrm{P}\big(78<\overline{\mathrm{x}}<81\big).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Média da população: \mu=80.
O segundo parâmetro 26 será interpretado como a variância populacional, ou seja \sigma^2=26. (Logo o desvio padrão populacional é \sigma=\sqrt{26}.)
Tamanho da amostra: n=25.
Queremos a probabilidade de a média amostral \overline{\mathrm{x}} cair entre 78 e 81.
Passo 2
Teoria necessária (explicada passo a passo):
Quando a variável original X é normal, X\sim N(\mu,\sigma^2), a média amostral \overline{X} de uma amostra aleatória simples de tamanho n tem distribuição normal também. Especificamente:
O que isso significa: a média da distribuição de \overline{X} é a mesma média populacional \mu, e a variância de \overline{X} é a variância populacional dividida por n. A raiz quadrada da variância de \overline{X} é chamada erro padrão (standard error):
\text{erro padrão} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.ã
Aqui \mu é a média populacional, \sigma é o desvio padrão populacional e n é o tamanho da amostra. Não precisamos do Teorema do Limite Central porque a população já é normal — então a média amostral tem distribuição normal exatamente.
Passo 3
Calcular o desvio padrão e o erro padrão numericamente:
A resposta significa que, ao retirar amostras de tamanho 25 dessa população, aproximadamente 81{,}17\% das médias amostrais cairão entre 78 e 81.
Dica para prova: memorize que para X\sim N(\mu,\sigma^2) vale \overline{X}\sim N(\mu,\sigma^2/n) — é a ferramenta-chave aqui. Para transformar em Z use sempre Z=(\overline{X}-\mu)/(\sigma/\sqrt{n}) e depois consulte a tabela da normal padrão (ou calcule com a função de distribuição).