Seja uma população X: N(80,26) e retira-se uma amostra de tamanho 25. Calcule:
\mathrm{P}(78<\overline{\mathrm{x}}<81)

Passo 1

O enunciado diz que a população é X \sim N(80,26) e que foi retirada uma amostra de tamanho 25. O que se pede é a probabilidade
\mathrm{P}\big(78<\overline{\mathrm{x}}<81\big).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Média da população: \mu=80.
  • O segundo parâmetro 26 será interpretado como a variância populacional, ou seja \sigma^2=26. (Logo o desvio padrão populacional é \sigma=\sqrt{26}.)
  • Tamanho da amostra: n=25.
  • Queremos a probabilidade de a média amostral \overline{\mathrm{x}} cair entre 78 e 81.

Passo 2

Teoria necessária (explicada passo a passo):
  • Quando a variável original X é normal, X\sim N(\mu,\sigma^2), a média amostral \overline{X} de uma amostra aleatória simples de tamanho n tem distribuição normal também. Especificamente:
\overline{X}\sim N\!\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right).
O que isso significa: a média da distribuição de \overline{X} é a mesma média populacional \mu, e a variância de \overline{X} é a variância populacional dividida por n. A raiz quadrada da variância de \overline{X} é chamada erro padrão (standard error):
\text{erro padrão} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.ã
Aqui \mu é a média populacional, \sigma é o desvio padrão populacional e n é o tamanho da amostra. Não precisamos do Teorema do Limite Central porque a população já é normal — então a média amostral tem distribuição normal exatamente.

Passo 3

Calcular o desvio padrão e o erro padrão numericamente:
  • \sigma=\sqrt{26}. Vamos aproximar:
\sqrt{26}\approx 5{,}0990195.
  • Erro padrão:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{25}}=\frac{\sqrt{26}}{5}\approx\frac{5{,}0990195}{5}\approx 1{,}0198039.

Passo 4

Padronizar a probabilidade para usar a tabela da normal padrão:
  • A ideia é transformar \overline{X} em uma variável Z padronizada com distribuição N(0,1). A transformação é
Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}.
  • Aplicando aos limites 78 e 81:
z_{\text{inferior}}=\frac{78-80}{1{,}0198039}=\frac{-2}{1{,}0198039}\approx -1{,}961161,
z_{\text{superior}}=\frac{81-80}{1{,}0198039}=\frac{1}{1{,}0198039}\approx 0{,}9805807.
Portanto
\mathrm{P}\big(78<\overline{\mathrm{x}}<81\big)=\mathrm{P}\big(-1{,}961161<Z<0{,}9805807\big).

Passo 5

Calcular a probabilidade usando a função distribuição da normal padrão:
  • Para a normal padrão Z, a probabilidade entre dois pontos é
\mathrm{P}(a<Z<b)=\Phi(b)-\Phi(a),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
  • Usando valores tabelados/aproximações:
\Phi(0{,}9805807)\approx 0{,}8366,
\Phi(-1{,}961161)=1-\Phi(1{,}961161)\approx 1-0{,}9751=0{,}0249.
  • Subtraindo:
\mathrm{P}\big(78<\overline{\mathrm{x}}<81\big)\approx 0{,}8366-0{,}0249=0{,}8117.

Passo 6

Interpretação final e dica prática:
  • A resposta significa que, ao retirar amostras de tamanho 25 dessa população, aproximadamente 81{,}17\% das médias amostrais cairão entre 78 e 81.
  • Dica para prova: memorize que para X\sim N(\mu,\sigma^2) vale \overline{X}\sim N(\mu,\sigma^2/n) — é a ferramenta-chave aqui. Para transformar em Z use sempre Z=(\overline{X}-\mu)/(\sigma/\sqrt{n}) e depois consulte a tabela da normal padrão (ou calcule com a função de distribuição).

Resposta

\approx 0{,}8117

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