Seja
a porção da esfera
comprendida entre os planos
and
com
. Calcular
onde n é a normal unitária cuja terceira coordenada é sempre positiva e o campo
Passo 1
O enunciado pede o fluxo
sobre a parte
da esfera unitária
situada entre os planos
e
(com
), tomando-se a normal de
que tem a terceira coordenada positiva. O campo é
Para resolver, vamos usar o Teorema da Divergência sobre o sólido
interno a
e limitado pelos dois planos, calcular
e o volume de
.
Passo 2
Calcular a divergência de
:
Como o segundo componente não depende de
e o terceiro não depende de
, sobra apenas
Passo 3
Descrever
: é o conjunto de pontos no interior da esfera
com
Em coordenadas esféricas
,
as condições são
além de
, i.e.\
.
O volume de fica então
O volume de
Passo 4
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo total de
pela superfície fechada
(que é
mais os dois cortes pelos planos) é
Mas nos cortes pelos planos
e
o campo
tem componente normal tal que o fluxo total através desses dois planos se anula (uma verificação direta mostra que as contribuições se cancelam). Logo resta apenas o fluxo através de
.