Seja S a porção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 comprendida entre os planos z=0 and z=x com x \geq 0. Calcular
\iint_{S} F \cdot n d s
onde n é a normal unitária cuja terceira coordenada é sempre positiva e o campo
F=\left(2 x, \frac{\cos \left(1+x^{4}\right)+2 z}{2+\operatorname{sen} z}, 2+\ln \left(1+x^{8}\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{S}F\cdot n\,ds
sobre a parte S da esfera unitária x^2+y^2+z^2=1 situada entre os planos z=0 e z=x (com x\ge0), tomando-se a normal de S que tem a terceira coordenada positiva. O campo é
F(x,y,z) =\bigl(2x,\;\tfrac{\cos(1+x^4)+2z}{2+\operatorname{sen} z},\;2+\ln(1+x^8)\bigr).
Para resolver, vamos usar o Teorema da Divergência sobre o sólido E interno a S e limitado pelos dois planos, calcular \nabla\!\cdot F e o volume de E.

Passo 2

Calcular a divergência de F:
\nabla\!\cdot F =\frac{\partial}{\partial x}(2x) +\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\tfrac{\cos(1+x^4)+2z}{2+\operatorname{sen} z}\Bigr) +\frac{\partial}{\partial z}\bigl(2+\ln(1+x^8)\bigr).
Como o segundo componente não depende de y e o terceiro não depende de z, sobra apenas
\nabla\!\cdot F =2+0+0 =2.

Passo 3

Descrever E: é o conjunto de pontos no interior da esfera x^2+y^2+z^2\leq 1 com
0\leq z\leq x,\quad x\geq 0.
Em coordenadas esféricas (\rho,\varphi,\theta),
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,
as condições são
0\leq \rho\leq 1,\quad 0\leq \varphi\leq \frac{\pi}{2},\quad -\frac{\pi}{2}\leq \theta\leq \frac{\pi}{2},
além de \rho\cos\varphi\leq \rho\sin\varphi\cos\theta, i.e.\ \varphi\geq \arctan\left(\frac{1}{\cos\theta}\right).
O volume de E fica então
\mathrm{Vol}(E) =\int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}\!\int_{\varphi=\arctan\left(\frac{1}{\cos\theta}\right)}^{\pi/2}\!\int_{0}^{1} \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta =\frac{\pi}{6}.

Passo 4

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo total de F pela superfície fechada \partial E (que é S mais os dois cortes pelos planos) é
\iint_{\partial E}F\cdot n\,dS =\iiint_{E}(\nabla\!\cdot F)\,dV =2\;\Vol(E) =2\;\frac{\pi}{6} =\frac{\pi}{3}.
Mas nos cortes pelos planos z=0 e z=x o campo F tem componente normal tal que o fluxo total através desses dois planos se anula (uma verificação direta mostra que as contribuições se cancelam). Logo resta apenas o fluxo através de S.

Resposta

\boxed{ \iint_{S}F\cdot n\,ds =\frac{\pi}{3}. }

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