Um peso de 1,5 \mathrm{~kg} distende uma mola em 2 cm . O peso parte de um ponto 25 cm abaixo da posição de equilibrio com uma velocidade de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} para cima.
(a) Encontre a equação que descreve o movimento harmônico simples resultante.
(b) Qual é a amplitude, o período, e a freqüência do movimento?
(c) Quando o peso retorna ao ponto localizado 25 cm abaixo da posição de equilíbrio?
(d) Quando o peso passa pela posição de equilíbrio se dirigindo para cima? E se dirigindo para baixo?
(e) Qual é a velocidade do peso no instante t=3 \pi / 16 segundos?
(f) Quando a velocidade é zero?

Passo 1

O enunciado trata de um sistema massa-mola com massa m=1{,}5,kg que, sob o peso, distende a mola de 2,cm. A massa é solta a 25,cm abaixo da posição de equilíbrio com velocidade inicial de 1,m/s para cima. O conteúdo é movimento harmônico simples (MHS): vamos obter a constante elástica k, a pulsação \omega, escrever a solução geral x(t) e, a partir dela, responder (a)–(f).

Passo 2

Sob a ação do peso em repouso vale
mg = kx_0,
onde x_0=0,02,m. Logo
k = \frac{mg}{x_0} = \frac{1{,}5\cdot9{,}8}{0,02} = 735\\ \mathrm{N/m}.
A pulsação do MHS é
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{735}{1{,}5}} = \sqrt{490} = 7\sqrt{10}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

A solução geral do MHS, tomando x positivo para cima a partir do equilíbrio, é
x(t) = C\cos(\omega t) + D\sin(\omega t).
As condições iniciais são
x(0) = -0,25\\ \mathrm{m}, \qquad x'(0) = 1\\ \mathrm{m/s}.
Derivando,
x'(t) = -C\,\omega\sin(\omega t) + D\,\omega\cos(\omega t).
Em t=0 obtemos
C = x(0) = -0,25, \qquad x'(0)=D\,\omega = 1 \;\Longrightarrow\; D = \frac{1}{\omega} = \frac{1}{7\sqrt{10}}.

Passo 4

Substituindo C e D chega-se à equação do movimento (resposta a):
\boxed{ x(t) = -0{,}25\cos\bigl(7\sqrt{10}\,t\bigr) + \frac{1}{7\sqrt{10}}\;\sin\bigl(7\sqrt{10}\,t\bigr) }.

Passo 5

Amplitude, período e frequência (resposta b):
A = \sqrt{C^2 + D^2} = \sqrt{(0{,}25)^2 + \Bigl(\tfrac1{7\sqrt{10}}\Bigr)^{2}} \approx 0{,}254\\ \mathrm{m},
T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{7\sqrt{10}}\approx 0{,}2839\\ \mathrm{s},
f = \frac1T \approx 3{,}52\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

Para a massa retornar ao ponto x=-0{,}25 m em movimento para baixo, resolvemos
x(t)=-0{,}25 \quad\text{e}\quad x'(t)<0.
Isso conduz a
\tan\!\bigl(\tfrac{\omega t}{2}\bigr) = -\frac{D}{C} = -\frac{1/\omega}{-0,25} = -\frac{4}{\omega}.
A menor solução positiva com x'(t)<0 é
t \approx \frac{5{,}9254}{\omega} = \frac{5{,}9254}{7\sqrt{10}} \approx 0{,}268\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Para passar pela posição de equilíbrio x=0 subindo ( x'>0) e descendo ( x'<0) resolvemos
x(t)=0 \;\Longrightarrow\; \tan(\omega t) = -\frac{C}{D} = 0{,}25\,\omega.
As duas primeiras soluções são
\omega t_1 = \arctan(0{,}25\,\omega) \;\Longrightarrow\; t_1 = \frac{1}{\omega}\arctan(0{,}25\,\omega) \approx 0{,}0628\\ \mathrm{s}\quad(\text{subindo}),
\omega t_2 = \arctan(0{,}25\,\omega)+\pi \;\Longrightarrow\; t_2 \approx 0{,}2047\\ \mathrm{s}\quad(\text{descendo}).

Passo 8

A velocidade é
v(t)=x'(t) = 0{,}25\,\omega\sin(\omega t) + \cos(\omega t).
Para t=3\pi/16 s, com \omega=7\sqrt{10}, temos numericamente
v\!\bigl(\tfrac{3\pi}{16}\bigr) \approx 3{,}39\\ \mathrm{m/s}.

Passo 9

Para achar quando v(t)=0 (resposta f) resolvemos
0{,}25\,\omega\sin(\omega t) + \cos(\omega t) = 0 \;\Longrightarrow\; \tan(\omega t) = -\frac{1}{0{,}25\,\omega} = -\frac{4}{\omega}.
Logo a solução geral é
\omega t = n\pi - \arctan\!\Bigl(\tfrac{4}{\omega}\Bigr), \quad n\in\mathbb{Z},
ou seja
\boxed{ t = \frac{n\pi - \arctan\!\bigl(\tfrac{4}{7\sqrt{10}}\bigr)}{7\sqrt{10}}, \quad n\in\mathbb{Z}. }

Resposta

(a) x(t) = -0{,}25\cos\bigl(7\sqrt{10}\,t\bigr) + \dfrac{1}{7\sqrt{10}}\sin\bigl(7\sqrt{10}\,t\bigr).
(b) A\approx0{,}254,m, T\approx0{,}2839,s, f\approx3{,}52,Hz.
(c) t\approx0{,}268,s.
(d) Subindo em t\approx0{,}0628,s; descendo em t\approx0{,}2047,s.
(e) v(3\pi/16)\approx3{,}39,m/s.
(f) t = \bigl(n\pi - \arctan(4/(7\sqrt{10}))\bigr)/(7\sqrt{10}),\\ n\in\mathbb{Z}.

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