Calcule a integral tripla:
\iiint_{W} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
usando uma mudança de variáveis conveniente, onde
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid \quad x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1, \quad x^{2}+y^{2} \geq \frac{1}{4}\right\}

Passo 1

O enunciado pede
\iiint_{W} z \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z
onde
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x^2+y^2+z^2\le1,\;x^2+y^2\ge\tfrac14\}.
Temos um corpo obtido cortando o cilindro de raio \tfrac12 no interior da esfera de raio 1. Devido à simetria em z, a mudança para coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) é a mais adequada.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas vale
x^2+y^2=r^2,\qquad \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z.
As condições se traduzem em
\tfrac12\le r\le1, \quad 0\le\theta\le2\pi, \quad -\sqrt{1-r^2}\le z\le\sqrt{1-r^2}.
Logo a integral fica
\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=\tfrac12}^{1}\int_{z=-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}} z\,r\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.

Passo 3

Primeiro calcule
\int_{z=-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}}z\,\mathrm{d}z.
Como é uma função ímpar integrada em limites simétricos, tem-se
\int_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}}z\,\mathrm{d}z = 0.

Passo 4

Multiplicando por r e integrando em r e \theta não altera o zero, logo toda a integral tripla é zero.

Resposta

0

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