Seja
a porção da região simultaneamente interior às curvas
e
que está situada no exterior da curva
. Escreva as integrais que permitem calcular:
o comprimento de arco da fronteira da região
.
o comprimento de arco da fronteira da região
Passo 1
O enunciado define em coordenadas polares a região
por
e queremos o comprimento de arco da sua fronteira. Para isso usamos a fórmula de comprimento em coordenadas polares:
Passo 2
Primeiro determinamos o intervalo de
em que a região existe, ou seja onde
.
Resolvendo
Resolvendo
Logo
Passo 3
O lugar onde muda a curva de fronteira externa vem de
Para
vale
e para
vale
.
Passo 4
A fronteira de
decompõe-se em três arcos:
- arco interno em
para de a ; - arco externo na curva
para de a ; - arco externo na curva
para de a .
Passo 5
Escrevendo as integrais de comprimento de cada pedaço:
E o comprimento total é