Seja R a porção da região simultaneamente interior às curvas r=2 cos theta e r=4 sin theta que está situada no exterior da curva r=1. Escreva as integrais que permitem calcular:
o comprimento de arco da fronteira da região R.

Passo 1

O enunciado define em coordenadas polares a região R por
1 ;<=; r ;<=;min,2costheta,;4sintheta
e queremos o comprimento de arco da sua fronteira. Para isso usamos a fórmula de comprimento em coordenadas polares:
L=integralthetaa^thetabraiz,r(theta)^2 + l(r'(theta)r)^2,dtheta

Passo 2

Primeiro determinamos o intervalo de theta em que a região existe, ou seja onde min2costheta,4sintheta>=1.
Resolvendo
2costheta>=1Longrightarrow costheta>=tfrac12Longrightarrow theta<=tfracpi3,
4sintheta>=1Longrightarrow sintheta>=tfrac14Longrightarrow theta>= arcsin!l(tfrac14r)
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theta1=arcsin!l(tfrac14r), theta2=tfracpi3

Passo 3

O lugar onde muda a curva de fronteira externa vem de
2costheta = 4sintheta Longrightarrow tantheta = tfrac12 Longrightarrow theta3 = arctan!l(tfrac12r)
Para thetain[theta1,theta3] vale 4sintheta<=2costheta e para thetain[theta3,theta2] vale 2costheta<=4sintheta.

Passo 4

A fronteira de R decompõe-se em três arcos:
  1. arco interno em r=1 para theta de theta1 a theta2;
  2. arco externo na curva r=4sintheta para theta de theta1 a theta3;
  3. arco externo na curva r=2costheta para theta de theta3 a theta2.

Passo 5

Escrevendo as integrais de comprimento de cada pedaço:
L1 = integraltheta1^theta2raiz1^2 + 0^2,dtheta = integralarcsin(1/4)^pi/3 1,dtheta,
L2 = integraltheta1^theta3 raiz(4sintheta)^2 + (4costheta)^2,dtheta = integralarcsin(1/4)^arctan(1/2)4,dtheta,
L3 = integraltheta3^theta2 raiz(2costheta)^2 + (-2sintheta)^2,dtheta = integralarctan(1/2)^pi/32,dtheta
E o comprimento total é
L = L1 + L2 + L3

Resposta

L = integralarcsin(1/4)^pi/31,dtheta + integralarcsin(1/4)^arctan(1/2)4,dtheta + integralarctan(1/2)^pi/32,dtheta

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