Seja R a porção da região simultaneamente interior às curvas r=2 cos theta e r=4 sin theta que está situada no exterior da curva r=1. Escreva as integrais que permitem calcular:
a área da região R;

Passo 1

O enunciado define em coordenadas polares a região R tal que
– ela está no exterior do círculo r=1,
– está no interior da curva r=2costheta,
– e está no interior da curva r=4sintheta.
Para calcular a área em coordenadas polares, usaremos a fórmula
A=12integral (rrm ext^2 - rrm int^2),dtheta

Passo 2

Encontramos os ângulos de interseção relevantes:
– Interseção entre r=2costheta e r=4sintheta:
2costheta=4sintheta Longrightarrow tantheta=tfrac12 Longrightarrow theta0=arctan!tfrac12
– Interseção entre r=1 e r=4sintheta:
4sintheta=1 Longrightarrow theta1=arcsin!tfrac14
– Interseção entre r=1 e r=2costheta:
2costheta=1 Longrightarrow theta2=arccos!tfrac12=tfracpi3

Passo 3

Para thetain[theta1,theta0] vale
4sintheta<= 2costheta,
logo a fronteira externa é r=4sintheta.
Para thetain[theta0,theta2] vale
2costheta<= 4sintheta,
logo a fronteira externa é r=2costheta.
Em ambos os casos a fronteira interna é r=1.

Passo 4

A área de R é dada pela soma das duas integrais, usando a fórmula em coordenadas polares:

Resposta

A = 12integraltheta1^theta0l((4sintheta)^2 - 1^2r),dtheta ;+; 12integraltheta0^theta2l((2costheta)^2 - 1^2r),dtheta,
onde
theta1=arcsintfrac14,;theta0=arctantfrac12,;theta2=tfracpi3

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