Seja
a porção da região simultaneamente interior às curvas
e
que está situada no exterior da curva
. Escreva as integrais que permitem calcular:
a área da região
;
a área da região
Passo 1
O enunciado define em coordenadas polares a região
tal que
– ela está no exterior do círculo ,
– está no interior da curva ,
– e está no interior da curva .
Para calcular a área em coordenadas polares, usaremos a fórmula
– ela está no exterior do círculo
– está no interior da curva
– e está no interior da curva
Para calcular a área em coordenadas polares, usaremos a fórmula
Passo 2
Encontramos os ângulos de interseção relevantes:
– Interseção entre e
:
– Interseção entre
– Interseção entre
e
:
– Interseção entre
e
:
Passo 3
Para
vale
logo a fronteira externa é
.
Para vale
Para
logo a fronteira externa é
.
Em ambos os casos a fronteira interna é .
Em ambos os casos a fronteira interna é
Passo 4
A área de
é dada pela soma das duas integrais, usando a fórmula em coordenadas polares:
Resposta
onde