Questão 1. Esboce a região de integração e munde a ordem de integração.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla dividida em duas partes e precisamos primeiro desenhar a região onde estamos integrando. Depois, a gente troca a ordem das integrações. Isso envolve entender como as variáveis
e
estão limitadas na região de integração.
Passo 2
A primeira parte da integral é:
Aqui,
varia de 0 a 1, e para cada valor de
,
vai de 0 até
. Isso forma um triângulo no primeiro quadrante do plano
.
Passo 3
A segunda parte da integral é:
Nessa parte,
vai de 1 até
, e para cada
,
vai de 0 até
. A equação
descreve uma curva que é parte de um círculo com raio
.
Passo 4
Agora, vamos esboçar a região de integração combinando as duas partes. No primeiro trecho (
), temos um triângulo. No segundo trecho (
), a região se expande seguindo a curva do círculo. Juntando tudo, a área total de integração é uma espécie de “canto” do círculo unido com o triângulo.
Passo 5
Para trocar a ordem de integração, queremos primeiro integrar em relação a
e depois em
. Isso significa que precisamos expressar os limites de
em função de
.
Observando a região de integração:
- Para
, varia de até .
Passo 6
Então, a integral com a ordem de integração trocada fica assim:
Resposta
A ordem de integração trocada é: