Questão 1. Esboce a região de integração e munde a ordem de integração.
integral0^1(integral0^y f(x, y) d x) d y+integral1^raiz2(integral0^raiz2-y^2 f(x, y) d x) d y

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla dividida em duas partes e precisamos primeiro desenhar a região onde estamos integrando. Depois, a gente troca a ordem das integrações. Isso envolve entender como as variáveis x e y estão limitadas na região de integração.

Passo 2

A primeira parte da integral é:
integral0^1 ( integral0^y f(x, y) , dx ) dy
Aqui, y varia de 0 a 1, e para cada valor de y, x vai de 0 até y. Isso forma um triângulo no primeiro quadrante do plano xy.

Passo 3

A segunda parte da integral é:
integral1^raiz2 ( integral0^raiz2 - y^2 f(x, y) , dx ) dy
Nessa parte, y vai de 1 até raiz2, e para cada y, x vai de 0 até raiz2 - y^2. A equação x = raiz2 - y^2 descreve uma curva que é parte de um círculo com raio raiz2.

Passo 4

Agora, vamos esboçar a região de integração combinando as duas partes. No primeiro trecho ( 0 <= y <= 1), temos um triângulo. No segundo trecho ( 1 <= y <= raiz2), a região se expande seguindo a curva do círculo. Juntando tudo, a área total de integração é uma espécie de “canto” do círculo unido com o triângulo.

Passo 5

Para trocar a ordem de integração, queremos primeiro integrar em relação a y e depois em x. Isso significa que precisamos expressar os limites de y em função de x.
Observando a região de integração:
  • Para 0 <= x <= 1, y varia de x até raiz2 - x^2.

Passo 6

Então, a integral com a ordem de integração trocada fica assim:
integral0^1 ( integralx^raiz2 - x^2 f(x, y) , dy ) dx

Resposta

A ordem de integração trocada é:
integral0^1 ( integralx^raiz2 - x^2 f(x, y) , dy ) dx

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