Seja S^prime um referencial que se move em relação a outro referencial S na direção x com velocidade v. Para relacionar as coordenadas de S com S^prime faça as seguintes suposições:
(a) A transformação é linear;
(b) Para v=0 a transformação deve se reduzir a identidade;
(c) Para um sinal luminoso, a constância da velocidade da luz implica que x^2+(c t)^2=x^prime 2+(c t^prime)^2
A origem de O prime(x prime=0), quando vista do referencial S deve ter a coordenada x=v t e, sendo a transformação linear, devemos ter
x^prime=A(x-v t)
Por outro lado, sendo a transformação do tempo também linear, devemos ter:
t^prime=B t+C x
Use o item (c) acima para obter uma relação entre A, B e C. Depois use a condição (b) para encontrar explicitamente os coeficiente, obtendo assim as TL.

Passo 1

Temos dois referenciais S e S' em movimento relativo de velocidade v ao longo do eixo x. Desejamos achar a transformação linear
x'=A,(x-vt), t'=B,t + C,x
que reduza-se à identidade para v=0 e que preserve o “intervalo luminoso”
x^2 - (c,t)^2 ;=; x'^2 - (c,t')^2

Passo 2

Escrevemos a condição de invariância do intervalo:
c^2t'^2 - x'^2 ;=; c^2 t^2 - x^2
Substituindo x'=A(x-vt) e t'=B,t + C,x obtemos
c^2l(Bt + Cxr)^2 ;-; A^2l(x - vtr)^2 ;=; c^2t^2 - x^2

Passo 3

Expandindo e agrupando em potências de t^2, x^2 e x,t, igualamos coeficientes em ambos os lados:
- Coeficiente de t^2:
c^2B^2 ; - ; A^2v^2 ; = ; c^2
- Coeficiente de x^2:
c^2C^2 ; - ; A^2 ; = ; -1
- Coeficiente de x,t:
2,c^2,B,C ; + ; 2,A^2,v ; = ; 0 ;;Longrightarrow;; c^2,B,C = -A^2,v

Passo 4

Das três equações:
1. c^2C^2 = A^2 - 1 2. c^2B^2 = c^2 + A^2v^2 3. c^2B,C = -A^2v
Escolhemos o ramo contínuo em v=0:
  • Para v=0 deve vir A=1,;B=1,;C=0.
  • Supondo A>0,,B>0, da ( 2) segue B^2=1+A^2v^2c^2, e da ( 1) C^2=A^2-1c^2 Se fizermos A=gamma=dfrac1raiz1-v^2/c^2, verifica-se que B=gamma e então da ( 3) C=-gamma,vc^2

Resposta

x' = gamma,(x - v,t), t' = gamma!l(t - vc^2,xr), gamma = 1raiz1 - v^2/c^2

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