Seja
um referencial que se move em relação a outro referencial
na direção
com velocidade
. Para relacionar as coordenadas de
com
faça as seguintes suposições:
(a) A transformação é linear;
(b) Para
a transformação deve se reduzir a identidade;
(c) Para um sinal luminoso, a constância da velocidade da luz implica que
A origem de
, quando vista do referencial
deve ter a coordenada
e, sendo a transformação linear, devemos ter
Por outro lado, sendo a transformação do tempo também linear, devemos ter:
Use o item (c) acima para obter uma relação entre
e
. Depois use a condição (b) para encontrar explicitamente os coeficiente, obtendo assim as TL.
(a) A transformação é linear;
(b) Para
(c) Para um sinal luminoso, a constância da velocidade da luz implica que
A origem de
Passo 1
Temos dois referenciais
e
em movimento relativo de velocidade
ao longo do eixo
. Desejamos achar a transformação linear
que reduza-se à identidade para
e que preserve o “intervalo luminoso”
Passo 2
Escrevemos a condição de invariância do intervalo:
Substituindo
e
obtemos
Passo 3
Expandindo e agrupando em potências de
,
e
, igualamos coeficientes em ambos os lados:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
Passo 4
Das três equações:
.
.
.
Escolhemos o ramo contínuo em
:
- Para
deve vir . - Supondo
, da ( ) segue e da ( ) Se fizermos , verifica-se que e então da ( )