Usando resíduos calcule as seguintes integrais
integral0^pi sin ^2 n theta d theta, n in N^*

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
integral0^pisin^2ntheta,dtheta,
para ninN^*, usando Teorema dos Resíduos. Vamos empregar a substituição complexa
;z=e^itheta,
com sintheta=z-z^-12i e dtheta=dziz, e usar que sin^2ntheta é 2pi-periódica e par.

Passo 2

Como sin^2ntheta é par e 2pi-periódica, temos
integral0^pisin^2ntheta,dtheta =tfrac12integral0^2pisin^2ntheta,dtheta
Definindo
J=integral0^2pisin^2ntheta,dtheta =oint|z|=1 (z-z^-12i)^2ndziz,
transformamos a integral real numa integral de contorno sobre o círculo unitário.

Passo 3

Dentro da integral de contorno obtemos
J =(-1)^ni,2^2n oint|z|=1(z-z^-1)^2n,z^-1dz =(-1)^ni,2^2n sumk=0^2nbinom2nk(-1)^k oint z^2k-2n-1dz
O único termo que contribui é aquele cujo integrando tem z^-1, i.e. 2k-2n-1=-1implies k=n. Então
J =(-1)^ni,2^2nbinom2nn(-1)^n ointdzz =binom2nn2^2n1i(2pi i) =2pibinom2nn2^2n

Passo 4

Voltando à integral original,
integral0^pisin^2ntheta,dtheta =tfrac12J =pi,binom2nn2^2n,
e usando binom2nn=(2n)!(n!)^2 chegamos à forma desejada.

Resposta

boxed integral0^pisin^2ntheta,dtheta =pi,(2n)!2^2n,(n!)^2

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