Seja X(t) um processo estocástico W W S a tempo contínuo com \mu_{X}=1 e
R_{X}(\tau)=\left\{\begin{array}{l}3-|\tau|, \text { se }-2 \leq \tau \leq 2 ; \\\\ 1, \text { caso contrário. }\end{array}\right.á
a) Encontre a potência média de X(t), E\left[X(t)^{2}\right];
b) Encontre E\left[(X(1)+X(2)+X(3))^{2}\right].

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • X(t)\) é um processo estocástico wide-sense stationary (WSS) a tempo contínuo. - A média é \(\mu_{X}=1\). - A função de autocorrelação é \[R_{X}(\tau)=\begin{cases} 3-|\tau|, & \text{se }-2\le \tau \le 2,\\[4pt] 1, & \text{caso contrário.} \end{cases}
As perguntas são:
(a) calcular a potência média E\!\left[X(t)^{2}\right]\]; (b) calcular \(E\!\left[\bigl(X(1)+X(2)+X(3)\bigr)^{2}\right].]

Passo 2

Relembrando conceitos importantes (bem devagarinho):
  • Para um processo WSS, a função de autocorrelação é definida por R_X(\tau)=E\!\bigl[X(t)X(t+\tau)\bigr]. Note que isso depende apenas do deslocamento \tau, não do tempo absoluto t.
  • Em particular, tomando \tau=0 obtemos
R_X(0)=E\!\bigl[X(t)X(t)\bigr]=E\!\bigl[X(t)^2\bigr],
ou seja, a autocorrelação em zero é exatamente a potência média que o item (a) pede.
  • A variância do processo pode ser obtida por
\operatorname{Var}\bigl(X(t)\bigr)=E\!\bigl[X(t)^2\bigr]-\bigl(E[X(t)]\bigr)^2=R_X(0)-\mu_X^2.
Vou usar essas fórmulas diretamente para responder (a). Para (b) vou usar a expansão da quadrado da soma: para quaisquer variáveis aleatórias X_i,
E\!\left[\left(\sum_{i=1}^{3}X_i\right)^2\right]=\sum_{i=1}^{3}E[X_i^2]+2\sum_{1\le i<j\le3}E[X_iX_j].
No nosso caso X_1=X(1),X_2=X(2),X_3=X(3) e, por WSS, E[X(t)X(s)]=R_X(s-t). Assim só precisamos dos valores de R_X(\tau) para \tau=0, \pm1, \pm2.

Passo 3

Calcular E\!\bigl[X(t)^2\bigr] (parte a):
  • Como observado, E\!\bigl[X(t)^2\bigr]=R_X(0).
  • A função dada vale R_X(0)=3-|0|=3 porque 0 está no intervalo [-2,2].
    Portanto
E\!\bigl[X(t)^2\bigr]=3.
Também útil (apenas para intuição): a variância é
\operatorname{Var}(X(t))=R_X(0)-\mu_X^2=3-1^2=2.

Passo 4

Preparar a expansão para (b):
E\!\left[\bigl(X(1)+X(2)+X(3)\bigr)^2\right] =\sum_{i=1}^{3}E[X(i)^2]+2\sum_{1\le i<j\le3}E[X(i)X(j)].
Pelos argumentos acima:
  • E[X(i)^2]=R_X(0)=3 para cada i.
  • Os termos cruzados E[X(i)X(j)]=R_X(j-i) dependem apenas de |j-i|. Precisamos de R_X(1) (para pares com diferença 1) e R_X(2) (para diferença 2).

Passo 5

Avaliar os valores de R_X(\tau) necessários e somar:
  • Para \tau=1 temos \tau\in[-2,2], logo R_X(1)=3-|1|=2.
  • Para \tau=2 temos \tau\in[-2,2], logo R_X(2)=3-|2|=1.
    Agora calcular termo a termo:
  • Soma dos termos diagonais: \sum_{i=1}^3 E[X(i)^2]=3\cdot 3=9.
  • Termos cruzados E[X(1)X(2)]=R_X(1)=2, E[X(2)X(3)]=R_X(1)=2, E[X(1)X(3)]=R_X(2)=1. A soma desses três é 2+2+1=5.
  • Multiplicando por 2 (porque aparecem como 2\sum_{i<j}) obtemos 2\cdot 5=10.
    Somando tudo:
E\!\left[\bigl(X(1)+X(2)+X(3)\bigr)^2\right]=9+10=19.

Resposta

E\!\bigl[X(t)^{2}\bigr]=3
E\!\left[\bigl(X(1)+X(2)+X(3)\bigr)^{2}\right]=19

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