Seja
uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d) com média
e
. Defina o processo estocástico a tempo discreto
como
, para todo
.
Encontre
e
, para todos
.
Passo 1
Vamos entender direitinho o que o enunciado pede e quais informações temos.
- Foi dada a sequência de variáveis aleatórias i.i.d.
com para todo . - O processo discreto é definido por
- O enunciado solicita:
- a função média do processo, isto é
para todo ; - a função de correlação (autocorrelação)
para todo .
- a função média do processo, isto é
Passo 2
Lembrando propriedades básicas que vamos usar (explicadinha e calma):
- A esperança é linear: para quaisquer variáveis aleatórias
e constantes , Aqui isso significa que a esperança da soma é a soma das esperanças. - Como as
são i.i.d. com , teremos esperanças individuais nulas.
Aplicando isso diretamente para:
Passo 3
Calcule
.
- Usando linearidade:
- Como
para todo , cada termo é zero, então
Portanto a função média é identicamente zero:
para todo
.
Passo 4
Agora vamos calcular a função de correlação
.
Escrevemos os somatórios explicitamente:
Escrevemos os somatórios explicitamente:
Então o produto é
Tomando expectativa e usando linearidade da esperança (pode entrar a esperança dentro da soma):
Passo 5
Precisamos então entender os termos
.
- Quando
: como e são independentes e têm média zero, vale (Explicando: para variáveis independentes ; com médias nulas isso zera.) - Quando
: temos (Recorde: , então .)
Passo 6
Voltando ao duplo somatório
apenas os termos com
contribuem (os demais são zero). Quais índices satisfazem
dentro desses somatórios? São exatamente os índices
que pertencem simultaneamente a
e
. O número desses índices é
.
Cada um desses índices dá contribuição
. Portanto
Passo 7
Interpretação rápida e nota prática (útil para prova):
- A função média é nula:
. - A correlação entre
e cresce com o número de termos comuns nas somas: quanto maior a sobreposição entre as somas, maior a correlação. Em particular, para variância (caso ): o que faz sentido: soma de variâncias iguais a (e sem termos cruzados por independência).