Seja Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}, \ldots uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d) com média E\left(Y_{i}\right)=0 e \operatorname{Var}\left(Y_{i}\right)=4. Defina o processo estocástico a tempo discreto \{X(n), n \in N\} como
X(n)=Y_{1}+Y_{2}+\cdots+Y_{n}, para todo n \in N.
Encontre \mu_{X}(n) e R_{X}(m, n), para todos m, n \in N.

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado pede e quais informações temos.
  • Foi dada a sequência de variáveis aleatórias i.i.d. Y_{1},Y_{2},Y_{3},\ldots com E\bigl(Y_{i}\bigr)=0\qquad\text{e}\qquad \operatorname{Var}\bigl(Y_{i}\bigr)=4,para todo i.
  • O processo discreto é definido por X(n)=Y_{1}+Y_{2}+\cdots+Y_{n},\quad n\in\mathbb{N}.
  • O enunciado solicita:
    • a função média do processo, isto é \mu_{X}(n)=E\bigl(X(n)\bigr) para todo n;
    • a função de correlação (autocorrelação) R_{X}(m,n)=E\bigl(X(m)\,X(n)\bigr) para todo m,n\in\mathbb{N}.

Passo 2

Lembrando propriedades básicas que vamos usar (explicadinha e calma):
  • A esperança é linear: para quaisquer variáveis aleatórias A,B e constantes a,b, E(aA+bB)=a\,E(A)+b\,E(B).Aqui isso significa que a esperança da soma é a soma das esperanças.
  • Como as Y_i são i.i.d. com E(Y_i)=0, teremos esperanças individuais nulas.
    Aplicando isso diretamente para \mu_{X}(n):

Passo 3

Calcule \mu_{X}(n)=E\bigl(X(n)\bigr).
  • Usando linearidade: E\bigl(X(n)\bigr)=E\bigl(Y_{1}+Y_{2}+\cdots+Y_{n}\bigr) =E(Y_{1})+E(Y_{2})+\cdots+E(Y_{n}).
  • Como E(Y_{i})=0 para todo i, cada termo é zero, então E\bigl(X(n)\bigr)=0.
Portanto a função média é identicamente zero: \mu_{X}(n)=0 para todo n.

Passo 4

Agora vamos calcular a função de correlação R_{X}(m,n)=E\bigl(X(m)\,X(n)\bigr).
Escrevemos os somatórios explicitamente:
X(m)=\sum_{i=1}^{m} Y_{i},\qquad X(n)=\sum_{j=1}^{n} Y_{j}.
Então o produto é
X(m)\,X(n)=\left(\sum_{i=1}^{m} Y_{i}\right)\left(\sum_{j=1}^{n} Y_{j}\right) =\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} Y_{i}Y_{j}.
Tomando expectativa e usando linearidade da esperança (pode entrar a esperança dentro da soma):
R_{X}(m,n)=E\bigl(X(m)X(n)\bigr)=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} E\bigl(Y_{i}Y_{j}\bigr).

Passo 5

Precisamos então entender os termos E\bigl(Y_{i}Y_{j}\bigr).
  • Quando i\neq j: como Y_i e Y_j são independentes e têm média zero, vale E\bigl(Y_{i}Y_{j}\bigr)=E(Y_i)\,E(Y_j)=0\cdot 0 = 0.(Explicando: para variáveis independentes E(AB)=E(A)E(B); com médias nulas isso zera.)
  • Quando i=j: temos E\bigl(Y_{i}^2\bigr)=\operatorname{Var}(Y_i)+\bigl(E(Y_i)\bigr)^2 = 4 + 0 = 4.(Recorde: \operatorname{Var}(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2, então E(Y^2)=\operatorname{Var}(Y)+[E(Y)]^2.)

Passo 6

Voltando ao duplo somatório
R_{X}(m,n)=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} E\bigl(Y_{i}Y_{j}\bigr),
apenas os termos com i=j contribuem (os demais são zero). Quais índices satisfazem i=j dentro desses somatórios? São exatamente os índices i que pertencem simultaneamente a \{1,\dots,m\} e \{1,\dots,n\}. O número desses índices é \min(m,n).
Cada um desses índices dá contribuição E(Y_i^2)=4. Portanto
R_{X}(m,n)=4\cdot \min(m,n).

Passo 7

Interpretação rápida e nota prática (útil para prova):
  • A função média é nula: \mu_{X}(n)=0.
  • A correlação entre X(m) e X(n) cresce com o número de termos comuns nas somas: quanto maior a sobreposição entre as somas, maior a correlação. Em particular, para variância (caso m=n): \operatorname{Var}\bigl(X(n)\bigr)=R_{X}(n,n)=4n,o que faz sentido: soma de n variâncias iguais a 4 (e sem termos cruzados por independência).

Resposta

\mu_{X}(n)=0\n R_{X}(m,n)=4\,\min(m,n)

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