(a) No que consiste a Hipótese de de Broglie? Explique! (b) No que ela difere da hipótese de Planck? (c) Como a hipótese de de Broglie explica a quantização do momento angular, proposta por Niels Bohr em 1913? Explique e demonstre! (d) Considere a aplicação da hipótese de de Broglie para uma partícula relativística e mostre que a relação entre o comprimento de onda \lambda e a energia cinética da partícula K resulta ser:
\lambda=\frac{h c}{\sqrt{K\left(K-2 m_{0} c^{2}\right)}}
(e) Como fica essa expressão no regime ultra-relativístico \left(K \gg m_{0}\right) ? (f) Como fica o comprimento de onda do item (d) no regime não-relativístico?

Passo 1

O enunciado pede seis coisas separadas: (a) explicar em que consiste a Hipótese de de Broglie; (b) explicar em que ela difere da hipótese de Planck; (c) mostrar como a hipótese de de Broglie explica a quantização do momento angular na hipótese de Bohr (com demonstração); (d) aplicar a hipótese de de Broglie a uma partícula relativística e mostrar a relação entre comprimento de onda \lambda e energia cinética K, cujo enunciado apresenta a fórmula
\lambda=\frac{h c}{\sqrt{K\left(K-2 m_{0} c^{2}\right)}};
(e) obter a forma dessa expressão no regime ultra‑relativístico \left(K\gg m_{0}c^{2}\right); (f) obter a forma no regime não‑relativístico \left(K\ll m_{0}c^{2}\right).
Informações relevantes dadas ou necessárias (resumo): há as constantes Planck h, a velocidade da luz c, a massa de repouso m_{0}; K é a energia cinética da partícula. A hipótese de de Broglie relaciona onda e partícula (comprimento de onda e momento); para a parte (d) será preciso usar relações relativísticas entre energia total, momento e massa de repouso.

Passo 2

Explicando didaticamente a Hipótese de de Broglie: de Broglie propôs que toda partícula material de momento linear \mathbf{p} tem associada uma onda com comprimento de onda
\lambda=\frac{h}{p},
onde h é a constante de Planck e p=\|\mathbf{p}\| é o módulo do momento linear da partícula. Além disso, a frequência temporal associada pode ser ligada à energia total E por
\nu=\frac{E}{h}.
O que isso quer dizer, em palavras simples: assim como a luz (fóton) tem carácter ondulatório e corpuscular, de Broglie estendeu a ideia e afirmou que partículas com massa também têm comportamento ondulatório — a “ondinha” tem comprimento \lambda inversamente proporcional ao momento. Aqui: h é a constante (número fixo), p mede quanto “impulso” a partícula carrega; quanto maior p, menor a onda associada.
Por que é plausível? Para fótons (massa nula) já existia a relação de Planck–Einstein E=h\nu e a relação entre energia e momento para fóton E=pc \lambda=h/p. De Broglie generalizou essa forma para partículas massivas.

Passo 3

Diferença entre de Broglie e Planck (explicado de forma simples e comparativa):
  • Hipótese de Planck (história): Planck introduziu a quantização da energia para os osciladores do corpo negro e propôs que a energia de um modo oscilatório era E=h\nu. Para fotões isso virou E=h\nu e junto com E=pc \lambda=h/p para a luz.
  • Hipótese de de Broglie: não quantiza energia de osciladores, mas propõe que partículas materiais (elétrons, prótons, etc.) têm também propriedades ondulatórias; a fórmula central é \lambda=h/p. Ou seja: Planck relaciona energia ↔ frequência; de Broglie relaciona momento ↔ comprimento de onda (estende a ideia de dualidade partícula‑onda a matéria).
    Resumo curto: Planck foi a origem da quantização de energia e relacionou E e \nu; de Broglie postula associação onda‑partícula para matéria e dá \lambda em função do momento.

Passo 4

Como a hipótese de de Broglie explica a quantização do momento angular de Bohr — demonstração passo a passo e explicação física (sem pular etapas).
  1. Contexto físico (o que Bohr propôs): Bohr propôs que elétrons descrevem órbitas circulares ao redor do núcleo e que o momento angular orbital é quantizado:
L = m v r = n\hbar,\qquad n=1,2,3,\dots
onde m é a massa do elétron (em Bohr clássico usa‑se massa não relativística), v a velocidade, r o raio da órbita, e \hbar=\dfrac{h}{2\pi}.
  1. Ideia de de Broglie para explicar isso: imagine que o elétron se comporta como uma onda circular ao redor do núcleo. Para que a onda “feche” sobre si mesma e interfira construtivamente (ou seja, seja uma onda estacionária ao redor do círculo), a circunferência da órbita deve conter um número inteiro de comprimentos de onda. Em termos matemáticos:
\text{circunferência} = 2\pi r = n\lambda,\qquad n\in\mathbb{Z}^+.ê
Isto garante que ao dar uma volta completa a fase da onda mude por 2\pi n, voltando à mesma condição de contorno.
  1. Substitui a relação de Broglie \lambda=\dfrac{h}{p} (aqui, o momento linear p na órbita é p=m v se não‑relativístico):
2\pi r = n\frac{h}{p} = n\frac{h}{m v}.
  1. Isola m v r:
m v r = \frac{n h}{2\pi} = n\hbar.
  1. Conclusão: obtivemos exatamente a condição de Bohr para o momento angular:
L = m v r = n\hbar.
Explicação física: a quantização de L surge como condição de compatibilidade de uma onda estacionária ao redor da órbita. A parte intuitiva: somente órbitas cujas circunferências acomodam um número inteiro de \lambda permitem uma onda que “feche” sem cancelar por interferência destrutiva; essas são as órbitas permitidas — daí o momento angular quantizado.
Observação prática: Bohr derivou a condição empiricamente; de Broglie deu uma razão física elegante (onda estacionária) que explica por que só certos valores de L aparecem.

Passo 5

Derivação da relação pedida para partícula relativística (passo a passo com todas as fórmulas e explicações).
  1. Ponto de partida: a relação de Broglie mantém‑se válida relativisticamente:
\lambda=\frac{h}{p},
onde agora p é o momento relativístico.
  1. Relação relativística entre energia total E, momento p e massa de repouso m_{0}:
E^{2}=p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}.
Aqui E é a energia total (repouso + cinética), c a velocidade da luz.
  1. A energia cinética K está relacionada à energia total por
E=m_{0}c^{2}+K.
Explicação: m_{0}c^{2} é a energia de repouso; K é a energia adicional ligada ao movimento.
  1. Substituímos E na relação relativística e isolamos p:
p^{2}c^{2}=E^{2}-m_{0}^{2}c^{4}=(m_{0}c^{2}+K)^{2}-m_{0}^{2}c^{4}.
Desenvolvendo:
(m_{0}c^{2}+K)^{2}-m_{0}^{2}c^{4}=m_{0}^{2}c^{4}+2K m_{0}c^{2}+K^{2}-m_{0}^{2}c^{4}=K^{2}+2K m_{0}c^{2}.
Logo
p^{2}c^{2}=K^{2}+2K m_{0}c^{2}.
  1. Então o momento é
p=\frac{1}{c}\sqrt{K^{2}+2K m_{0}c^{2}}.
  1. Aplicando \lambda=h/p:
\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h c}{\sqrt{K^{2}+2K m_{0}c^{2}}}.
  1. Observação importante sobre o enunciado: a relação que acabei de deduzir é
\lambda=\frac{h c}{\sqrt{K^{2}+2K m_{0}c^{2}}},
que é a expressão correta seguindo a definição usual de energia cinética K=E-m_{0}c^{2} e as relações relativísticas. A fórmula apresentada no enunciado
\lambda=\frac{h c}{\sqrt{K\left(K-2 m_{0} c^{2}\right)}}
tem sinais trocados na combinação dos termos (ficaria \sqrt{K^{2}-2K m_{0}c^{2}}), que conduz a problemas físicos (por exemplo raízes imaginárias para energias cinéticas pequenas). Portanto a expressão correta é a que eu deduzi acima; o termo dentro da raiz deve ser K^{2}+2K m_{0}c^{2}.

Passo 6

Regime ultra‑relativístico \left(K\gg m_{0}c^{2}\right) — como fica a expressão:
  1. Partimos da expressão correta encontrada:
\lambda=\frac{h c}{\sqrt{K^{2}+2K m_{0}c^{2}}}.
  1. Se K\gg m_{0}c^{2} então K^{2} domina sobre 2K m_{0}c^{2}, logo
\sqrt{K^{2}+2K m_{0}c^{2}}\approx\sqrt{K^{2}}=K.
  1. Assim, no limite ultra‑relativístico:
\lambda\approx\frac{h c}{K}.
  1. Interpretação: para partículas muito energéticas K\approx E\approx pc, então p\approx K/c e \lambda=h/p\approx h c/K, o que coincide com o comportamento de fótons (para os quais E=pc).

Passo 7

Regime não‑relativístico \left(K\ll m_{0}c^{2}\right) — como fica a expressão:
  1. Partimos novamente da expressão correta
\lambda=\frac{h c}{\sqrt{K^{2}+2K m_{0}c^{2}}}.
  1. Quando K\ll m_{0}c^{2} o termo K^{2} é muito menor que 2K m_{0}c^{2}, logo podemos desprezar K^{2}. Assim
\sqrt{K^{2}+2K m_{0}c^{2}}\approx\sqrt{2K m_{0}c^{2}}.
  1. Substituindo:
\lambda\approx\frac{h c}{\sqrt{2K m_{0}c^{2}}}.
  1. Simplificando c dentro da raiz:
\sqrt{2K m_{0}c^{2}}=c\sqrt{2 m_{0}K},
logo
\lambda\approx\frac{h}{\sqrt{2 m_{0}K}}.
  1. Interpretação: isto é exatamente a forma não‑relativística conhecida da relação de de Broglie, porque para partículas não relativísticas K=\dfrac{p^{2}}{2m_{0}} e portanto p=\sqrt{2m_{0}K}, de onde \lambda=h/p=h/\sqrt{2m_{0}K}.

Resposta

(a) A Hipótese de de Broglie afirma que toda partícula material de momento p tem associada uma onda com comprimento de onda \lambda=\dfrac{h}{p} (e frequência \nu=E/h), onde h é a constante de Planck.
(b) Diferença: Planck relaciona energia e frequência ( E=h\nu) e surgiu ao quantizar os modos de osciladores; de Broglie estende a ideia de dualidade partícula‑onda à matéria, relacionando momento e comprimento de onda ( \lambda=h/p).
(c) De Broglie + condição de onda estacionária na órbita (circunferência 2\pi r=n\lambda) dá 2\pi r=n\frac{h}{mv}\Rightarrow mvr=n\hbar, que é exatamente a quantização do momento angular de Bohr L=n\hbar.
(d) Expressão correta (deduzida usando E=m_{0}c^{2}+K e E^{2}=p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}):
\lambda=\frac{h c}{\sqrt{K^{2}+2K m_{0}c^{2}}}.
(observação: a fórmula do enunciado com K(K-2m_{0}c^{2}) contém troca de sinais e não corresponde à relação física correta).
(e) Regime ultra‑relativístico K\gg m_{0}c^{2}:
\lambda\approx\frac{h c}{K}.
(f) Regime não‑relativístico K\ll m_{0}c^{2}:
\lambda\approx\frac{h}{\sqrt{2m_{0}K}}.

Exercícios relacionados