(a) No que consiste a Hipótese de de Broglie? Explique! (b) No que ela difere da hipótese de Planck? (c) Como a hipótese de de Broglie explica a quantização do momento angular, proposta por Niels Bohr em 1913? Explique e demonstre! (d) Considere a aplicação da hipótese de de Broglie para uma partícula relativística e mostre que a relação entre o comprimento de onda
e a energia cinética da partícula
resulta ser:
(e) Como fica essa expressão no regime ultra-relativístico
? (f) Como fica o comprimento de onda do item (d) no regime não-relativístico?
Passo 1
O enunciado pede seis coisas separadas: (a) explicar em que consiste a Hipótese de de Broglie; (b) explicar em que ela difere da hipótese de Planck; (c) mostrar como a hipótese de de Broglie explica a quantização do momento angular na hipótese de Bohr (com demonstração); (d) aplicar a hipótese de de Broglie a uma partícula relativística e mostrar a relação entre comprimento de onda
e energia cinética
, cujo enunciado apresenta a fórmula
(e) obter a forma dessa expressão no regime ultra‑relativístico
; (f) obter a forma no regime não‑relativístico
.
Informações relevantes dadas ou necessárias (resumo): há as constantes Planck
, a velocidade da luz
, a massa de repouso
;
é a energia cinética da partícula. A hipótese de de Broglie relaciona onda e partícula (comprimento de onda e momento); para a parte (d) será preciso usar relações relativísticas entre energia total, momento e massa de repouso.
Passo 2
Explicando didaticamente a Hipótese de de Broglie: de Broglie propôs que toda partícula material de momento linear
tem associada uma onda com comprimento de onda
onde
é a constante de Planck e
é o módulo do momento linear da partícula. Além disso, a frequência temporal associada pode ser ligada à energia total
por
O que isso quer dizer, em palavras simples: assim como a luz (fóton) tem carácter ondulatório e corpuscular, de Broglie estendeu a ideia e afirmou que partículas com massa também têm comportamento ondulatório — a “ondinha” tem comprimento
inversamente proporcional ao momento. Aqui:
é a constante (número fixo),
mede quanto “impulso” a partícula carrega; quanto maior
, menor a onda associada.
Por que é plausível? Para fótons (massa nula) já existia a relação de Planck–Einstein
e a relação entre energia e momento para fóton
dá
. De Broglie generalizou essa forma para partículas massivas.
Passo 3
Diferença entre de Broglie e Planck (explicado de forma simples e comparativa):
- Hipótese de Planck (história): Planck introduziu a quantização da energia para os osciladores do corpo negro e propôs que a energia de um modo oscilatório era
. Para fotões isso virou e junto com dá para a luz. - Hipótese de de Broglie: não quantiza energia de osciladores, mas propõe que partículas materiais (elétrons, prótons, etc.) têm também propriedades ondulatórias; a fórmula central é
. Ou seja: Planck relaciona energia ↔ frequência; de Broglie relaciona momento ↔ comprimento de onda (estende a ideia de dualidade partícula‑onda a matéria).
Resumo curto: Planck foi a origem da quantização de energia e relacionoue ; de Broglie postula associação onda‑partícula para matéria e dá em função do momento.
Passo 4
Como a hipótese de de Broglie explica a quantização do momento angular de Bohr — demonstração passo a passo e explicação física (sem pular etapas).
- Contexto físico (o que Bohr propôs): Bohr propôs que elétrons descrevem órbitas circulares ao redor do núcleo e que o momento angular orbital é quantizado:
onde
é a massa do elétron (em Bohr clássico usa‑se massa não relativística),
a velocidade,
o raio da órbita, e
.
- Ideia de de Broglie para explicar isso: imagine que o elétron se comporta como uma onda circular ao redor do núcleo. Para que a onda “feche” sobre si mesma e interfira construtivamente (ou seja, seja uma onda estacionária ao redor do círculo), a circunferência da órbita deve conter um número inteiro de comprimentos de onda. Em termos matemáticos:
Isto garante que ao dar uma volta completa a fase da onda mude por
, voltando à mesma condição de contorno.
- Substitui a relação de Broglie
(aqui, o momento linear na órbita é se não‑relativístico):
- Isola
:
- Conclusão: obtivemos exatamente a condição de Bohr para o momento angular:
Explicação física: a quantização de
surge como condição de compatibilidade de uma onda estacionária ao redor da órbita. A parte intuitiva: somente órbitas cujas circunferências acomodam um número inteiro de
permitem uma onda que “feche” sem cancelar por interferência destrutiva; essas são as órbitas permitidas — daí o momento angular quantizado.
Observação prática: Bohr derivou a condição empiricamente; de Broglie deu uma razão física elegante (onda estacionária) que explica por que só certos valores de
aparecem.
Passo 5
Derivação da relação pedida para partícula relativística (passo a passo com todas as fórmulas e explicações).
- Ponto de partida: a relação de Broglie mantém‑se válida relativisticamente:
onde agora
é o momento relativístico.
- Relação relativística entre energia total
, momento e massa de repouso :
Aqui
é a energia total (repouso + cinética),
a velocidade da luz.
- A energia cinética
está relacionada à energia total por
Explicação:
é a energia de repouso;
é a energia adicional ligada ao movimento.
- Substituímos
na relação relativística e isolamos :
Desenvolvendo:
Logo
- Então o momento é
- Aplicando
:
- Observação importante sobre o enunciado: a relação que acabei de deduzir é
que é a expressão correta seguindo a definição usual de energia cinética
e as relações relativísticas. A fórmula apresentada no enunciado
tem sinais trocados na combinação dos termos (ficaria
), que conduz a problemas físicos (por exemplo raízes imaginárias para energias cinéticas pequenas). Portanto a expressão correta é a que eu deduzi acima; o termo dentro da raiz deve ser
.
Passo 6
Regime ultra‑relativístico
— como fica a expressão:
- Partimos da expressão correta encontrada:
- Se
então domina sobre , logo
- Assim, no limite ultra‑relativístico:
- Interpretação: para partículas muito energéticas
, então e , o que coincide com o comportamento de fótons (para os quais ).
Passo 7
Regime não‑relativístico
— como fica a expressão:
- Partimos novamente da expressão correta
- Quando
o termo é muito menor que , logo podemos desprezar . Assim
- Substituindo:
- Simplificando
dentro da raiz:
logo
- Interpretação: isto é exatamente a forma não‑relativística conhecida da relação de de Broglie, porque para partículas não relativísticas
e portanto , de onde .
Resposta
(a) A Hipótese de de Broglie afirma que toda partícula material de momento
tem associada uma onda com comprimento de onda
(e frequência
), onde
é a constante de Planck.
(b) Diferença: Planck relaciona energia e frequência ( ) e surgiu ao quantizar os modos de osciladores; de Broglie estende a ideia de dualidade partícula‑onda à matéria, relacionando momento e comprimento de onda (
).
(c) De Broglie + condição de onda estacionária na órbita (circunferência ) dá
, que é exatamente a quantização do momento angular de Bohr
.
(d) Expressão correta (deduzida usando e
):
(b) Diferença: Planck relaciona energia e frequência (
(c) De Broglie + condição de onda estacionária na órbita (circunferência
(d) Expressão correta (deduzida usando
(observação: a fórmula do enunciado com
contém troca de sinais e não corresponde à relação física correta).
(e) Regime ultra‑relativístico :
(e) Regime ultra‑relativístico
(f) Regime não‑relativístico
: