Seja Q o retângulo de \mathbb{R}^{2} dado por Q=[0, a] \times[0,2 \pi], onde a>0. Calcular a integral dupla
\iint_{Q} r^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta d r d \theta .

Passo 1

O enunciado dá o retângulo [0,a]\times[0,2\pi] com a>0 e pede calcular a integral dupla
\iint_{Q} r^{2}\operatorname{sen}^{2}\theta\,dr\,d\theta.
Informações relevantes que temos:
Q=[0,a]\times[0,2\pi],
o integrando é o produto de uma função de r com uma função de \theta, isto é r^{2}\cdot \operatorname{sen}^{2}\theta, e os limites de integração são r de 0 a a e \theta de 0 a 2\pi. A pergunta é: qual é o valor numérico (em função de a) dessa integral dupla?

Passo 2

Vamos observar a forma do integrando. Ele separa em uma parte que depende só de r e outra que depende só de \theta:
r^{2}\operatorname{sen}^{2}\theta = \big(r^{2}\big)\cdot\big(\operatorname{sen}^{2}\theta\big).
Quando temos uma função integrável em um retângulo que é produto de uma função só de r por uma só de \theta, podemos usar a propriedade (seguindo o Teorema de Fubini) que permite separar a integral dupla em produto de integrais simples:
\iint_{Q} r^{2}\operatorname{sen}^{2}\theta\,dr\,d\theta = \left(\int_{0}^{a} r^{2}\,dr\right)\cdot\left(\int_{0}^{2\pi}\operatorname{sen}^{2}\theta\,d\theta\right).
Eu escrevi isso porque integrar um produto de funções que dependem de variáveis distintas sobre um retângulo é justamente multiplicar as integrais unidimensionais.

Passo 3

Calculemos a integral em r:
\int_{0}^{a} r^{2}\,dr.
Usamos a antiderivada de r^{2}, que é \dfrac{r^{3}}{3}. Avaliando de 0 a a obtemos
\int_{0}^{a} r^{2}\,dr = \left.\dfrac{r^{3}}{3}\right|_{0}^{a} = \dfrac{a^{3}}{3}.
Explicando passo a passo: derivando \dfrac{r^{3}}{3} volta r^{2}, por isso é a primitiva; em seguida substituímos os limites: \dfrac{a^{3}}{3}-\dfrac{0^{3}}{3}=\dfrac{a^{3}}{3}.

Passo 4

Agora calculemos a integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\operatorname{sen}^{2}\theta\,d\theta.
Para integrar \operatorname{sen}^{2}\theta é útil usar a identidade trigonométrica da meia-ângulo (identidade de redução):
\operatorname{sen}^{2}\theta = \dfrac{1-\cos(2\theta)}{2}.
Substituindo na integral temos
\int_{0}^{2\pi}\operatorname{sen}^{2}\theta\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\dfrac{1-\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \dfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}1\,d\theta - \dfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos(2\theta)\,d\theta.
A primeira parte é direta:
\dfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}1\,d\theta = \dfrac{1}{2}\cdot (2\pi) = \pi.
A segunda parte envolve \cos(2\theta). A primitiva de \cos(2\theta) é \dfrac{1}{2}\sin(2\theta), portanto
\int_{0}^{2\pi}\cos(2\theta)\,d\theta = \left.\dfrac{1}{2}\sin(2\theta)\right|_{0}^{2\pi} = \dfrac{1}{2}\big(\sin(4\pi)-\sin(0)\big) = 0,
pois \sin(4\pi)=\sin(0)=0. Assim a segunda parcela é zero e ficamos com
\int_{0}^{2\pi}\operatorname{sen}^{2}\theta\,d\theta = \pi.
Intuitivamente, isso também reflete que a média de \operatorname{sen}^{2}\theta ao longo de um período é 1/2, então sobre comprimento 2\pi 2\pi\cdot\frac{1}{2}=\pi.

Passo 5

Multiplicamos os resultados das integrais separadas (lembrando da separação feita no Passo 2):
\iint_{Q} r^{2}\operatorname{sen}^{2}\theta\,dr\,d\theta = \left(\dfrac{a^{3}}{3}\right)\cdot \pi = \dfrac{\pi a^{3}}{3}.

Resposta

\dfrac{\pi a^{3}}{3}

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