o integrando é o produto de uma função de r com uma função de \theta, isto é r^{2}\cdot \operatorname{sen}^{2}\theta, e os limites de integração são r de 0 a a e \theta de 0 a 2\pi. A pergunta é: qual é o valor numérico (em função de a) dessa integral dupla?
Passo 2
Vamos observar a forma do integrando. Ele separa em uma parte que depende só de r e outra que depende só de \theta:
Quando temos uma função integrável em um retângulo que é produto de uma função só de r por uma só de \theta, podemos usar a propriedade (seguindo o Teorema de Fubini) que permite separar a integral dupla em produto de integrais simples:
Eu escrevi isso porque integrar um produto de funções que dependem de variáveis distintas sobre um retângulo é justamente multiplicar as integrais unidimensionais.
Passo 3
Calculemos a integral em r:
\int_{0}^{a} r^{2}\,dr.
Usamos a antiderivada de r^{2}, que é \dfrac{r^{3}}{3}. Avaliando de 0 a a obtemos
Explicando passo a passo: derivando \dfrac{r^{3}}{3} volta r^{2}, por isso é a primitiva; em seguida substituímos os limites: \dfrac{a^{3}}{3}-\dfrac{0^{3}}{3}=\dfrac{a^{3}}{3}.
Intuitivamente, isso também reflete que a média de \operatorname{sen}^{2}\theta ao longo de um período é 1/2, então sobre comprimento 2\pi dá 2\pi\cdot\frac{1}{2}=\pi.
Passo 5
Multiplicamos os resultados das integrais separadas (lembrando da separação feita no Passo 2):