Seja
a quantidade de dólares americanos per capita em circulação no momento
. A tabela, fornecida pelo Departamento do Tesouro, dá os valores de
na data de 30 de junho do ano especificado. Interprete e estime o valor de
.
| t | 1960 | 1970 | 1980 | 1990 |
|---|---|---|---|---|
| C(t) | (177 | ) 265 | (571 | ) 1063 |
Passo 1
O enunciado dá a função
(dólares americanos per capita em circulação) em quatro anos e pede para interpretar e estimar
. Dados fornecidos (peguei estes valores da tabela do enunciado):
-
: -
: -
: -
:
O que o enunciado pede:
- Interpretar o que significa
. - Estimar um valor numérico para
a partir dos dados discretos.
Passo 2
O que significa
.
- A derivada
é a taxa de variação instantânea de em relação a . Em palavras simples: quanto, por unidade de tempo, a quantidade de dólares per capita está mudando naquele instante. - Aqui
está em anos e em dólares por pessoa. Logo as unidades de são dólares por pessoa por ano. - A interpretação concreta:
é a velocidade com que os dólares per capita em circulação estavam aumentando (ou diminuindo) no ano 1980, medido em dólares por pessoa por ano.
Passo 3
Como estimar uma derivada quando temos só valores em pontos isolados.
- Com dados discretos a técnica básica é aproximar a derivada por um quociente de diferenças (taxa média) em um pequeno intervalo em torno do ponto.
- As fórmulas comuns:
- Diferença para trás (usando
e ): . - Diferença para frente (usando
e ): . - Diferença central (usando
e ): .
- Diferença para trás (usando
- A diferença central costuma ser a melhor aproximação quando se tem pontos igualmente espaçados em ambos os lados, porque cancela erros de ordem inferior e geralmente dá uma estimativa mais próxima da taxa instantânea.
Passo 4
Escolha do método para este problema e justificativa.
- Temos valores em
, e . Os pontos e estão a anos antes e depois de , respectivamente. Assim anos. - Portanto a diferença central é conveniente e natural aqui:
- Isso assume que
varia relativamente suavemente entre 1970 e 1990, o que é uma hipótese razoável quando só temos esses dados.
Passo 5
Cálculo das taxas médias em subintervalos (para ganhar intuição).
- Taxa média de 1970 a 1980:
- Taxa média de 1980 a 1990:
- Observação: a derivada em 1980 deve ficar entre essas duas taxas médias se a função for razoavelmente suave; a diferença central será a média aritmética dessas duas taxas (ver passo seguinte).
Passo 6
Cálculo pela diferença central (estimativa final).
- Aplicando a fórmula central:
- Verificação rápida:
é exatamente a média aritmética de e , como esperado:
Passo 7
Interpretação final e comentário sobre precisão.
- Interpretação: em torno de 1980, a quantidade de dólares per capita em circulação estava aumentando a uma taxa aproximada de
por pessoa a cada ano. Em linguagem mais coloquial: por volta de 1980 cada pessoa “ganhava” em média cerca de a mais em dólares em circulação a cada ano. - Observação sobre precisão: essa é uma estimativa baseada em dados em incrementos de 10 anos. Se
tivesse mudanças bruscas dentro do intervalo, a estimativa teria maior erro; ainda assim, a diferença central é a melhor escolha com os dados fornecidos.