Seja C(t) a quantidade de dólares americanos per capita em circulação no momento t. A tabela, fornecida pelo Departamento do Tesouro, dá os valores de C(t) na data de 30 de junho do ano especificado. Interprete e estime o valor de C^{\prime}(1980).
t 1960 1970 1980 1990
C(t) (177 ) 265 (571 ) 1063

Passo 1

O enunciado dá a função C(t) (dólares americanos per capita em circulação) em quatro anos e pede para interpretar e estimar C^{\prime}(1980). Dados fornecidos (peguei estes valores da tabela do enunciado):
  • t=1960: C(1960)=\$\,177
  • t=1970: C(1970)=\$\,265
  • t=1980: C(1980)=\$\,571
  • t=1990: C(1990)=\$\,1063
O que o enunciado pede:
  • Interpretar o que significa C^{\prime}(1980).
  • Estimar um valor numérico para C^{\prime}(1980) a partir dos dados discretos.

Passo 2

O que significa C^{\prime}(1980).
  • A derivada C^{\prime}(t) é a taxa de variação instantânea de C em relação a t. Em palavras simples: quanto, por unidade de tempo, a quantidade de dólares per capita está mudando naquele instante.
  • Aqui t está em anos e C(t) em dólares por pessoa. Logo as unidades de C^{\prime}(t) são dólares por pessoa por ano.
  • A interpretação concreta: C^{\prime}(1980) é a velocidade com que os dólares per capita em circulação estavam aumentando (ou diminuindo) no ano 1980, medido em dólares por pessoa por ano.

Passo 3

Como estimar uma derivada quando temos só valores em pontos isolados.
  • Com dados discretos a técnica básica é aproximar a derivada por um quociente de diferenças (taxa média) em um pequeno intervalo em torno do ponto.
  • As fórmulas comuns:
    • Diferença para trás (usando t-h e t): \dfrac{C(t)-C(t-h)}{h}.
    • Diferença para frente (usando t e t+h): \dfrac{C(t+h)-C(t)}{h}.
    • Diferença central (usando t-h e t+h): \dfrac{C(t+h)-C(t-h)}{2h}.
  • A diferença central costuma ser a melhor aproximação quando se tem pontos igualmente espaçados em ambos os lados, porque cancela erros de ordem inferior e geralmente dá uma estimativa mais próxima da taxa instantânea.

Passo 4

Escolha do método para este problema e justificativa.
  • Temos valores em 1970, 1980 e 1990. Os pontos 1970 e 1990 estão a 10 anos antes e depois de 1980, respectivamente. Assim h=10 anos.
  • Portanto a diferença central é conveniente e natural aqui: C^{\prime}(1980)\approx \frac{C(1990)-C(1970)}{1990-1970}.
  • Isso assume que C(t) varia relativamente suavemente entre 1970 e 1990, o que é uma hipótese razoável quando só temos esses dados.

Passo 5

Cálculo das taxas médias em subintervalos (para ganhar intuição).
  • Taxa média de 1970 a 1980: \frac{C(1980)-C(1970)}{1980-1970}=\frac{\$\,571-\$\,265}{10}=\frac{\$\,306}{10}=\$\,30,6\\ \text{por pessoa por ano}.
  • Taxa média de 1980 a 1990: \frac{C(1990)-C(1980)}{1990-1980}=\frac{\$\,1063-\$\,571}{10}=\frac{\$\,492}{10}=\$\,49,2\\ \text{por pessoa por ano}.
  • Observação: a derivada em 1980 deve ficar entre essas duas taxas médias se a função for razoavelmente suave; a diferença central será a média aritmética dessas duas taxas (ver passo seguinte).

Passo 6

Cálculo pela diferença central (estimativa final).
  • Aplicando a fórmula central: C^{\prime}(1980)\approx \frac{C(1990)-C(1970)}{1990-1970}=\frac{\$\,1063-\$\,265}{20}=\frac{\$\,798}{20}=\$\,39,9\\ \text{por pessoa por ano}.
  • Verificação rápida: \$\,39,9 é exatamente a média aritmética de \$\,30,6 e \$\,49,2, como esperado: \frac{30,6+49,2}{2}=39,9.

Passo 7

Interpretação final e comentário sobre precisão.
  • Interpretação: em torno de 1980, a quantidade de dólares per capita em circulação estava aumentando a uma taxa aproximada de \$\,39,9 por pessoa a cada ano. Em linguagem mais coloquial: por volta de 1980 cada pessoa “ganhava” em média cerca de \$\,40 a mais em dólares em circulação a cada ano.
  • Observação sobre precisão: essa é uma estimativa baseada em dados em incrementos de 10 anos. Se C(t) tivesse mudanças bruscas dentro do intervalo, a estimativa teria maior erro; ainda assim, a diferença central é a melhor escolha com os dados fornecidos.

Resposta

C^{\prime}(1980)\approx \$\,39,9\\ \text{por pessoa por ano}

Exercícios relacionados