Cada limite representa a derivada de certa função f em certo número a. Diga quem é f e a em cada caso.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+h}-1}{h}

Passo 1

O enunciado dá o limite
\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+h}-1}{h}
e pede: cada limite representa a derivada de certa função f em certo número a. Identificar quem é f e quem é a.

Passo 2

Recordando a definição (essa é a forma padrão que relaciona um limite como o dado a uma derivada): se uma função f é diferenciável em a, então
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Aqui f'(a) é a derivada de f no ponto a; a expressão dentro do limite é a diferença incrementada normalizada. As variáveis significam:
  • f é a função desconhecida que queremos achar;
  • a é o ponto onde a função é avaliada;
  • h é o incremento que tende a zero.

Passo 3

Comparando a forma geral \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} com a expressão dada \dfrac{\sqrt{1+h}-1}{h}, vemos que o numerador deve ser f(a+h)-f(a). Portanto podemos identificar diretamente:
f(a+h)=\sqrt{1+h}\qquad\text{e}\qquad f(a)=1.

Passo 4

Da igualdade f(a)=1 segue que, substituindo na expressão de f, o número a deve satisfazer f(a)=\sqrt{a}=1. Assim
\sqrt{a}=1 \quad\Rightarrow\quad a=1.
Com a=1 a expressão f(a+h)=\sqrt{1+h} corresponde à função f avaliada em a+h quando f(x)=\sqrt{x}. Logo
f(x)=\sqrt{x}\quad\text{e}\quad a=1.

Passo 5

(Faixa de segurança / verificação) É útil calcular o limite para ver que ele de fato existe e corresponde à derivada de f(x)=\sqrt{x} em a=1. Racionalizamos o numerador:
\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}\cdot\frac{\sqrt{1+h}+1}{\sqrt{1+h}+1} =\frac{1+h-1}{h(\sqrt{1+h}+1)} =\frac{1}{\sqrt{1+h}+1}.
Tomando h\to0,
\lim_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{1+h}+1}=\frac{1}{\sqrt{1}+1}=\frac{1}{2}.
Isso coincide com a derivada conhecida \,f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\, avaliada em x=1, que também dá 1/2. Portanto a identificação está consistente.

Resposta

f(x)=\sqrt{x}, a=1

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