Cada limite representa a derivada de certa função
em certo número
. Diga quem é
e
em cada caso.
Passo 1
O enunciado dá o limite
e pede: cada limite representa a derivada de certa função
em certo número
. Identificar quem é
e quem é
.
Passo 2
Recordando a definição (essa é a forma padrão que relaciona um limite como o dado a uma derivada): se uma função
é diferenciável em
, então
Aqui
é a derivada de
no ponto
; a expressão dentro do limite é a diferença incrementada normalizada. As variáveis significam:
-
é a função desconhecida que queremos achar; -
é o ponto onde a função é avaliada; -
é o incremento que tende a zero.
Passo 3
Comparando a forma geral
com a expressão dada
, vemos que o numerador deve ser
. Portanto podemos identificar diretamente:
Passo 4
Da igualdade
segue que, substituindo na expressão de
, o número
deve satisfazer
. Assim
Com
a expressão
corresponde à função
avaliada em
quando
. Logo
Passo 5
(Faixa de segurança / verificação) É útil calcular o limite para ver que ele de fato existe e corresponde à derivada de
em
. Racionalizamos o numerador:
Tomando
,
Isso coincide com a derivada conhecida
avaliada em
, que também dá
. Portanto a identificação está consistente.