Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
tende a
da expressão
Informações dadas e observações imediatas:
- Ao substituir
no numerador, calcula-se , portanto o numerador vale . - O denominador em
também vale . - Logo a forma é uma indeterminação do tipo
. Precisamos manipular algebraicamente a expressão para eliminar essa indeterminação e calcular o limite.
Passo 2
Estratégia escolhida (método elementar, sem derivadas): usar a identidade algébrica da diferença de cubos para “racionalizar” a diferença de raízes cúbicas.
Lembrete da identidade (vamos revisar para ficar seguro):
Dessa identidade segue imediatamente que, se
,
Esta fórmula é útil quando
e
é um número: transforma a diferença de raízes cúbicas numa razão em que o fator
aparece no numerador e no denominador aparece um polinômio em
, que é contínuo.
Passo 3
Aplique a identidade ao nosso problema tomando
Calcule
:
Pela identidade,
Passo 4
Reescreva a expressão do limite usando a relação encontrada. Temos
Portanto o limite pedido é equivalente a
onde lembramos que
.
Passo 5
Agora usamos continuidade: a função
é contínua em
, e polinômios em
são contínuos. Assim podemos fazer a substituição direta do valor limite de
quando
. Como já vimos, quando
temos
. Então
Passo 6
Calcule o denominador numérico:
Logo o limite vale
Passo 7
Comentário rápido (motivacional): outra forma de ver esse limite é reconhecer que ele é a definição do quociente diferencial de
em
, e portanto igual a
; fazendo a derivada também se obtém
. Mas a solução algébrica que usamos aqui funciona sem cálculo diferencial.