1. \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt[3]{3 x+5}-2}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende a 1 da expressão
\frac{\sqrt[3]{3x+5}-2}{x-1}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • Ao substituir x=1 no numerador, calcula-se \sqrt[3]{3\cdot1+5}=\sqrt[3]{8}=2, portanto o numerador vale 2-2=0.
  • O denominador em x=1 também vale 1-1=0.
  • Logo a forma é uma indeterminação do tipo 0/0. Precisamos manipular algebraicamente a expressão para eliminar essa indeterminação e calcular o limite.

Passo 2

Estratégia escolhida (método elementar, sem derivadas): usar a identidade algébrica da diferença de cubos para “racionalizar” a diferença de raízes cúbicas.
Lembrete da identidade (vamos revisar para ficar seguro):
a^3-b^3=(a-b)\bigl(a^2+ab+b^2\bigr).
Dessa identidade segue imediatamente que, se a^3-b^3\neq0,
a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}.
Esta fórmula é útil quando a=\sqrt[3]{\cdot} e b é um número: transforma a diferença de raízes cúbicas numa razão em que o fator a-b aparece no numerador e no denominador aparece um polinômio em a, que é contínuo.

Passo 3

Aplique a identidade ao nosso problema tomando
a=\sqrt[3]{3x+5} \qquad\text{e}\qquad b=2.
Calcule a^3-b^3:
a^3-b^3=(3x+5)-8=3x-3=3(x-1).
Pela identidade,
a-2=\frac{a^3-2^3}{a^2+2a+2^2}=\frac{3(x-1)}{a^2+2a+4}.

Passo 4

Reescreva a expressão do limite usando a relação encontrada. Temos
\frac{\sqrt[3]{3x+5}-2}{x-1}=\frac{a-2}{x-1}=\frac{3}{a^2+2a+4}.
Portanto o limite pedido é equivalente a
\lim_{x\to 1}\frac{3}{a^2+2a+4},
onde lembramos que a=\sqrt[3]{3x+5}.

Passo 5

Agora usamos continuidade: a função x\mapsto\sqrt[3]{3x+5} é contínua em x=1, e polinômios em a são contínuos. Assim podemos fazer a substituição direta do valor limite de a quando x\to1. Como já vimos, quando x\to1 temos a\to2. Então
\lim_{x\to 1}\frac{3}{a^2+2a+4}=\frac{3}{2^2+2\cdot 2+4}.

Passo 6

Calcule o denominador numérico:
2^2+2\cdot 2+4=4+4+4=12.
Logo o limite vale
\frac{3}{12}=\frac{1}{4}.

Passo 7

Comentário rápido (motivacional): outra forma de ver esse limite é reconhecer que ele é a definição do quociente diferencial de f(x)=\sqrt[3]{3x+5} em x=1, e portanto igual a f'(1); fazendo a derivada também se obtém 1/4. Mas a solução algébrica que usamos aqui funciona sem cálculo diferencial.

Resposta

\tfrac{1}{4}

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