Prove que todo ideal de \mathbb{Z} é principal. Prove, também, que P é ideal primo de \mathbb{Z} se, e somente se, P é ideal maximal em \mathbb{Z}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Provar que todo ideal de \mathbb{Z} é principal (ou seja, que para todo ideal I\subseteq\mathbb{Z} existe n\in\mathbb{Z} tal que I=(n)=\{kn:k\in\mathbb{Z}\}).
  2. Provar que P é ideal primo de \mathbb{Z} se, e somente se, P é ideal maximal em \mathbb{Z}.
Observação importante (correção da afirmação “se, e somente se”): o ideal (0) em \mathbb{Z} é um ideal primo (porque \mathbb{Z} é domínio íntegro) mas não é maximal (pois \mathbb{Z}/(0)\cong\mathbb{Z} não é corpo). Portanto, a afirmação literal do enunciado é falsa sem uma pequena restrição. O que é verdadeiro e normalmente desejado provar é: “um ideal P de \mathbb{Z} é primo e não nulo se, e somente se, P é maximal”. Vou provar a parte geral “maximal ⇒ primo” (que vale em qualquer anel comutativo com 1) e, para a parte inversa, vou usar a classificação dos ideais de \mathbb{Z} (parte 1) para concluir que ideais primos não nulos em \mathbb{Z} são exatamente os gerados por números primos e são maximal.

Passo 2

Definições e ideias que vamos usar (explicação didática):
  • Ideal I\subseteq\mathbb{Z}: subconjunto que é subgrupo aditivo e fechado por multiplicação por qualquer inteiro: se a\in I e r\in\mathbb{Z} então ra\in I.
  • Ideal principal gerado por n: (n)=\{kn:k\in\mathbb{Z}\}.
  • Teorema do algoritmo da divisão inteira (forma usada): para a,n\in\mathbb{Z} com n>0 existem únicos q,r\in\mathbb{Z} com 0\le r<n tais que a=qn+r. Iremos usá-lo para mostrar divisibilidade por um menor gerador.
  • Princípio do bom ordenamento de \mathbb{N}: todo subconjunto não vazio de \mathbb{N} tem menor elemento; útil para pegar o menor inteiro positivo em um ideal não nulo.
    Vou usar esses fatos elementares passo a passo.

Passo 3

Prova de que todo ideal I\subseteq\mathbb{Z} é principal.
  • Caso trivial: se I=\{0\} então I=(0) e já é principal.
  • Caso não trivial: suponha I\neq\{0\}. Como I é subgrupo aditivo de \mathbb{Z}, contém inteiros positivos e negativos. Considere o subconjunto de inteiros positivos de I: S=\{m\in\mathbb{N}:m\in I\}. Pelo princípio do bom ordenamento S tem menor elemento; chame-o de n (ou seja, n é o menor inteiro positivo em I). Vou mostrar que I=(n).

Passo 4

Mostrando I\subseteq (n).
Pegue um elemento arbitrário a\in I. Aplicando o algoritmo da divisão inteira a a por n (onde n>0) obtemos inteiros q e r com
a = qn + r,\qquad 0\le r < n.
Agora observe que qn\in (n)\subseteq I (já que n\in I e I é ideal, multiplica-se n por q). Assim r = a - qn é diferença de dois elementos de I, logo r\in I. Mas r é um inteiro entre 0 e n-1. Pela escolha de n como menor inteiro positivo em I, a única possibilidade é r=0 (se r>0 seria menor que n e estaria em I, contradizendo a minimalidade). Portanto r=0 e a=qn, isto é, a\in (n). Como a foi arbitrário em I, temos I\subseteq (n).

Passo 5

Mostrando (n)\subseteq I.
Isto é imediato porque n\in I e I é fechado por multiplicação por inteiros: todo k n pertence a I. Logo (n)\subseteq I.

Passo 6

Conclusão da primeira parte.
Das inclusões das Passos 4 e 5 segue I=(n). Assim todo ideal não nulo de \mathbb{Z} é gerado por um único inteiro n. Juntando o caso I=\{0\} temos provado que todo ideal de \mathbb{Z} é principal. (Resumo prático: cada ideal é (n) para algum n\ge 0.)

Passo 7

Definições de ideal primo e maximal (relembrando e explicando por que importam):
  • Ideal P é primo se P é próprio ( P\neq\mathbb{Z}) e para todos a,b\in\mathbb{Z}, se ab\in P então a\in P ou b\in P. Intuição: produto nulo modulo P implica um fator nulo modulo P.
  • Ideal M é maximal se M é próprio e não existe ideal J tal que M\subsetneq J\subsetneq\mathbb{Z}. Intuição: não dá para colocar nenhum ideal “entre” M e o anel inteiro.
    Uma ferramenta útil: a correspondência com quocientes: M é maximal ⇔ o anel quociente \mathbb{Z}/M é corpo; P é primo ⇔ \mathbb{Z}/P é domínio íntegro. Vou usar isso.

Passo 8

Prova geral: maximal ⇒ primo (vale em qualquer anel comutativo com 1).
Se M é maximal então \mathbb{Z}/M é um corpo (definição equivalente). Todo corpo é, em particular, um domínio íntegro (não tem divisores de zero). Logo \mathbb{Z}/M é domínio íntegro, o que significa exatamente que M é primo. Em palavras: se o quociente pelo ideal é corpo, então a condição de produto nulo implicar fator nulo vale no quociente, traduzindo-se na propriedade primária do ideal.

Passo 9

Caracterização de ideais em \mathbb{Z} aplicada aos ideais primos.
Pelo que provamos, qualquer ideal P de \mathbb{Z} é da forma P=(n) para algum n\ge 0. Se P é primo e P\neq(0), então existe o menor inteiro positivo n\in P. Vou mostrar que esse n tem de ser um número primo (no sentido usual dos inteiros).
Suponha, para contradizer, que n seja composto: n=ab com inteiros a,b tais que 1<|a|<n e 1<|b|<n. Como n=ab\in P e P é primo, segue que a\in P ou b\in P. Mas isso contradiz a minimalidade de n (pois |a|<n ou |b|<n seria um inteiro positivo em P menor que n). Logo n não pode ser composto; portanto n é primo. Denote n=p prime.

Passo 10

Conclusão: ideais primos não nulos são gerados por primos.
Portanto todo ideal primo não nulo P é da forma P=(p) com p primo inteiro. Agora vou mostrar que um ideal gerado por um primo é maximal, completando a equivalência para não nulos.

Passo 11

Mostrando que (p) com p primo é maximal.
Considere o quociente \mathbb{Z}/(p). Por um resultado elementar de aritmética (identidade de Bézout/algoritmo de Euclides): se a\in\mathbb{Z} e p primo, então ou p\mid a (isto é, a\in(p)) ou \gcd(a,p)=1. Quando \gcd(a,p)=1 existe u\in\mathbb{Z} tal que au + pv = 1 para algum v, logo au\equiv 1\pmod p; isso mostra que a classe de a em \mathbb{Z}/(p) tem inverso e é invertível. Assim toda classe não nula em \mathbb{Z}/(p) é invertível, o que mostra que \mathbb{Z}/(p) é um corpo. Portanto (p) é maximal.

Passo 12

Completar a cadeia de implicações e comentar o caso (0).
Juntando os fatos:
  • Em qualquer anel comutativo com 1, maximal ⇒ primo (Passo 8).
  • Em \mathbb{Z}, todo ideal é principal (Passo 6), logo qualquer ideal primo não nulo é (p) com p primo (Passos 9–10); tais ideais (p) geram corpos quocientes e portanto são maximal (Passo 11).
    Portanto, em \mathbb{Z}, um ideal P diferente de (0) é primo se, e somente se, é maximal. Observação final: (0) é primo (porque \mathbb{Z} é domínio íntegro) mas não é maximal; por isso a equivalência literal sem excluir (0) é falsa.

Resposta

Todo ideal de \mathbb{Z} é principal: para todo ideal I\subseteq\mathbb{Z} existe n\ge0 tal que I=(n).
Em \mathbb{Z}, um ideal P não nulo é primo se, e somente se, P é maximal; equivalently, os ideais primos não nulos são exatamente os ideais (p) gerados por números primos p, e esses são máximos.

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