Prove que todo ideal de
é principal. Prove, também, que P é ideal primo de
se, e somente se,
é ideal maximal em
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Provar que todo ideal de
é principal (ou seja, que para todo ideal existe tal que ). - Provar que
é ideal primo de se, e somente se, é ideal maximal em .
Observação importante (correção da afirmação “se, e somente se”): o ideal
em
é um ideal primo (porque
é domínio íntegro) mas não é maximal (pois
não é corpo). Portanto, a afirmação literal do enunciado é falsa sem uma pequena restrição. O que é verdadeiro e normalmente desejado provar é: “um ideal
de
é primo e não nulo se, e somente se,
é maximal”. Vou provar a parte geral “maximal ⇒ primo” (que vale em qualquer anel comutativo com 1) e, para a parte inversa, vou usar a classificação dos ideais de
(parte 1) para concluir que ideais primos não nulos em
são exatamente os gerados por números primos e são maximal.
Passo 2
Definições e ideias que vamos usar (explicação didática):
- Ideal
: subconjunto que é subgrupo aditivo e fechado por multiplicação por qualquer inteiro: se e então . - Ideal principal gerado por
: . - Teorema do algoritmo da divisão inteira (forma usada): para
com existem únicos com tais que . Iremos usá-lo para mostrar divisibilidade por um menor gerador. - Princípio do bom ordenamento de
: todo subconjunto não vazio de tem menor elemento; útil para pegar o menor inteiro positivo em um ideal não nulo.
Vou usar esses fatos elementares passo a passo.
Passo 3
Prova de que todo ideal
é principal.
- Caso trivial: se
então e já é principal. - Caso não trivial: suponha
. Como é subgrupo aditivo de , contém inteiros positivos e negativos. Considere o subconjunto de inteiros positivos de : . Pelo princípio do bom ordenamento tem menor elemento; chame-o de (ou seja, é o menor inteiro positivo em ). Vou mostrar que .
Passo 4
Mostrando
.
Pegue um elemento arbitrário . Aplicando o algoritmo da divisão inteira a
por
(onde
) obtemos inteiros
e
com
Pegue um elemento arbitrário
Agora observe que
(já que
e
é ideal, multiplica-se
por
). Assim
é diferença de dois elementos de
, logo
. Mas
é um inteiro entre
e
. Pela escolha de
como menor inteiro positivo em
, a única possibilidade é
(se
seria menor que
e estaria em
, contradizendo a minimalidade). Portanto
e
, isto é,
. Como
foi arbitrário em
, temos
.
Passo 5
Mostrando
.
Isto é imediato porque e
é fechado por multiplicação por inteiros: todo
pertence a
. Logo
.
Isto é imediato porque
Passo 6
Conclusão da primeira parte.
Das inclusões das Passos 4 e 5 segue . Assim todo ideal não nulo de
é gerado por um único inteiro
. Juntando o caso
temos provado que todo ideal de
é principal. (Resumo prático: cada ideal é
para algum
.)
Das inclusões das Passos 4 e 5 segue
Passo 7
Definições de ideal primo e maximal (relembrando e explicando por que importam):
- Ideal
é primo se é próprio ( ) e para todos , se então ou . Intuição: produto nulo modulo implica um fator nulo modulo . - Ideal
é maximal se é próprio e não existe ideal tal que . Intuição: não dá para colocar nenhum ideal “entre” e o anel inteiro.
Uma ferramenta útil: a correspondência com quocientes:é maximal ⇔ o anel quociente é corpo; é primo ⇔ é domínio íntegro. Vou usar isso.
Passo 8
Prova geral: maximal ⇒ primo (vale em qualquer anel comutativo com 1).
Se é maximal então
é um corpo (definição equivalente). Todo corpo é, em particular, um domínio íntegro (não tem divisores de zero). Logo
é domínio íntegro, o que significa exatamente que
é primo. Em palavras: se o quociente pelo ideal é corpo, então a condição de produto nulo implicar fator nulo vale no quociente, traduzindo-se na propriedade primária do ideal.
Se
Passo 9
Caracterização de ideais em
aplicada aos ideais primos.
Pelo que provamos, qualquer ideal de
é da forma
para algum
. Se
é primo e
, então existe o menor inteiro positivo
. Vou mostrar que esse
tem de ser um número primo (no sentido usual dos inteiros).
Pelo que provamos, qualquer ideal
Suponha, para contradizer, que
seja composto:
com inteiros
tais que
e
. Como
e
é primo, segue que
ou
. Mas isso contradiz a minimalidade de
(pois
ou
seria um inteiro positivo em
menor que
). Logo
não pode ser composto; portanto
é primo. Denote
prime.
Passo 10
Conclusão: ideais primos não nulos são gerados por primos.
Portanto todo ideal primo não nulo é da forma
com
primo inteiro. Agora vou mostrar que um ideal gerado por um primo é maximal, completando a equivalência para não nulos.
Portanto todo ideal primo não nulo
Passo 11
Mostrando que
com
primo é maximal.
Considere o quociente . Por um resultado elementar de aritmética (identidade de Bézout/algoritmo de Euclides): se
e
primo, então ou
(isto é,
) ou
. Quando
existe
tal que
para algum
, logo
; isso mostra que a classe de
em
tem inverso e é invertível. Assim toda classe não nula em
é invertível, o que mostra que
é um corpo. Portanto
é maximal.
Considere o quociente
Passo 12
Completar a cadeia de implicações e comentar o caso
.
Juntando os fatos:
Juntando os fatos:
- Em qualquer anel comutativo com 1, maximal ⇒ primo (Passo 8).
- Em
, todo ideal é principal (Passo 6), logo qualquer ideal primo não nulo é com primo (Passos 9–10); tais ideais geram corpos quocientes e portanto são maximal (Passo 11).
Portanto, em, um ideal diferente de é primo se, e somente se, é maximal. Observação final: é primo (porque é domínio íntegro) mas não é maximal; por isso a equivalência literal sem excluir é falsa.
Resposta
Todo ideal de
é principal: para todo ideal
existe
tal que
.
Em
, um ideal
não nulo é primo se, e somente se,
é maximal; equivalently, os ideais primos não nulos são exatamente os ideais
gerados por números primos
, e esses são máximos.