Seja R anel comutativo com 1 \neq 0. Mostre que se a é um elemento nilpotente, então 1-a b \in U(R) para todo b \in U(R).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Temos um anel comutativo R com unidade 1 e 1 \neq 0.
  • Foi dado que a é nilpotente: existe n\in\mathbb{N}, n\ge 1, tal que \,a^n=0.
  • Foi dado um elemento b\in U(R) (ou seja, b é invertível).
    O que devemos mostrar: para esse a nilpotente e para qualquer b (aqui o enunciado pede b\in U(R)), a expressão \,1-ab é uma unidade em R (ou seja, tem inverso multiplicativo).

Passo 2

Definições e ideia básica que vamos usar.
  • Um elemento x\in R é nilpotente se existe m\ge1 tal que x^m=0.
  • Um elemento u\in R é unidade se existe v\in R tal que uv=vu=1.
    Estratégia: mostrar explicitamente um elemento S\in R tal que (1-ab)S=S(1-ab)=1. Uma construção padrão é usar a soma geométrica finita \sum_{k=0}^{n-1}(ab)^k, porque quando (ab)^n=0 essa soma satisfaz a identidade geométrica finita que dá inverso.

Passo 3

Mostrar que ab é nilpotente.
Como a^n=0, calculemos (ab)^n. Usando associatividade e comutatividade (ou apenas associatividade e a definição de potência),
(ab)^n = a^n b^n = 0\cdot b^n = 0.
Logo ab é nilpotente (mesmo expoente n funciona). Isso justifica usar uma soma geométrica finita com ab.

Passo 4

Construir o candidato a inverso e verificar.
Defina
S=\sum_{k=0}^{n-1}(ab)^k = 1 + (ab) + (ab)^2 + \cdots + (ab)^{n-1}.
Multiplicando (1-ab) por S obtemos a clássica identidade telescópica:
(1-ab)S = S - (ab)S = \sum_{k=0}^{n-1}(ab)^k - \sum_{k=0}^{n-1}(ab)^{k+1} = 1 - (ab)^n.
Mas (ab)^n=0 pela Passo 3, portanto
(1-ab)S = 1.
Como a mesma telescopia vale também trocando a ordem (ou pela comutatividade de R),
S(1-ab)=1.
Portanto S é o inverso multiplicativo de 1-ab.

Passo 5

Conclusão e observações finais (didática e motivação).
Mostramos explicitamente um inverso para 1-ab, logo \,1-ab\in U(R). Em palavras: quando a é nilpotente, potências de ab ficam nulas a partir de certo expoente, então a soma finita da série geométrica fornece o inverso — não é preciso somas infinitas nem completude. Observação extra útil: a prova não usou que b fosse invertível; funciona para qualquer b\in R. Mas como o enunciado já assumiu b\in U(R), a afirmação é verdadeira.

Resposta

\displaystyle (1-ab)^{-1}=\sum_{k=0}^{n-1}(ab)^k

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