Seja
anel comutativo com
. Mostre que se
é um elemento nilpotente, então
para todo
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Temos um anel comutativo
com unidade e . - Foi dado que
é nilpotente: existe , , tal que . - Foi dado um elemento
(ou seja, é invertível).
O que devemos mostrar: para essenilpotente e para qualquer (aqui o enunciado pede ), a expressão é uma unidade em (ou seja, tem inverso multiplicativo).
Passo 2
Definições e ideia básica que vamos usar.
- Um elemento
é nilpotente se existe tal que . - Um elemento
é unidade se existe tal que .
Estratégia: mostrar explicitamente um elementotal que . Uma construção padrão é usar a soma geométrica finita , porque quando essa soma satisfaz a identidade geométrica finita que dá inverso.
Passo 3
Mostrar que
é nilpotente.
Como , calculemos
. Usando associatividade e comutatividade (ou apenas associatividade e a definição de potência),
Como
Logo
é nilpotente (mesmo expoente
funciona). Isso justifica usar uma soma geométrica finita com
.
Passo 4
Construir o candidato a inverso e verificar.
Defina
Defina
Multiplicando
por
obtemos a clássica identidade telescópica:
Mas
pela Passo 3, portanto
Como a mesma telescopia vale também trocando a ordem (ou pela comutatividade de
),
Portanto
é o inverso multiplicativo de
.
Passo 5
Conclusão e observações finais (didática e motivação).
Mostramos explicitamente um inverso para , logo
. Em palavras: quando
é nilpotente, potências de
ficam nulas a partir de certo expoente, então a soma finita da série geométrica fornece o inverso — não é preciso somas infinitas nem completude. Observação extra útil: a prova não usou que
fosse invertível; funciona para qualquer
. Mas como o enunciado já assumiu
, a afirmação é verdadeira.
Mostramos explicitamente um inverso para