Seja
. Considere o sólido obtido ao girar ao redor do eixo
a região limitada pela função
. Encontre:
a) O volume.
b) A área superficial.
a) O volume.
b) A área superficial.
Passo 1
O enunciado diz que temos em 0<
a curva
que é a semicircunferência de raio
centrada em
. Ao girar a região sob essa curva em torno do eixo
, gera–se um anel de revolução (toro) de raio maior
e raio menor
. Para calcular volume e área superficial de um toro, vamos usar o Teorema de Pappus.
Passo 2
Para o volume, o Teorema de Pappus afirma que
A região geratriz é todo o disco de raio
, cuja área é
O centróide desse disco está a distância
do eixo
, de modo que, ao girar, desloca–se em um círculo de comprimento
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Passo 3
Para a área superficial, aplicamos a versão do Teorema de Pappus que diz que a área gerada por girar uma curva de comprimento
em torno de um eixo é
Aqui a curva geratriz é a circunferência de raio
, de comprimento
e seu centróide fica a distância
do eixo
, percorrendo ao giro
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Resposta
a)
b)
b)