Seja 0<r<R. Considere o sólido obtido ao girar ao redor do eixo y a região limitada pela função f(x)=\sqrt{r^{2}-(x-R)^{2}}. Encontre:
a) O volume.
b) A área superficial.

Passo 1

O enunciado diz que temos em 0< r<R a curva
y = f(x) = \sqrt{\,r^{2} - (x - R)^{2}\,},
que é a semicircunferência de raio r centrada em (R,0). Ao girar a região sob essa curva em torno do eixo y, gera–se um anel de revolução (toro) de raio maior R e raio menor r. Para calcular volume e área superficial de um toro, vamos usar o Teorema de Pappus.

Passo 2

Para o volume, o Teorema de Pappus afirma que
V \;=\; (\text{área da região geratriz}) \;\times\; (\text{comprimento do trajeto do centróide}).áãó
A região geratriz é todo o disco de raio r, cuja área é
A_{\rm disco} = \pi\,r^{2}.
O centróide desse disco está a distância R do eixo y, de modo que, ao girar, desloca–se em um círculo de comprimento
2\pi\,R.
Logo
V = \pi\,r^{2}\;\times\;2\pi\,R = 2\,\pi^{2}\,R\,r^{2}.

Passo 3

Para a área superficial, aplicamos a versão do Teorema de Pappus que diz que a área gerada por girar uma curva de comprimento L em torno de um eixo é
A = L \;\times\; (\text{comprimento do caminho do centróide da curva}).ó
Aqui a curva geratriz é a circunferência de raio r, de comprimento
L = 2\pi\,r,
e seu centróide fica a distância R do eixo y, percorrendo ao giro
2\pi\,R.
Logo
A = 2\pi\,r\;\times\;2\pi\,R = 4\,\pi^{2}\,R\,r.

Resposta

a) V = 2\,\pi^{2}\,R\,r^{2}.
b) A = 4\,\pi^{2}\,R\,r.

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