Decida se as seguintes integrais impróprias são convergentes ou divergentes. Se for convergente, calcule seu valor.
\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral imprópria
\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}\,dx
que, reescrevendo o integrando, é
\int_{0}^{1}x^{-\tfrac{2}{3}}\,dx.
O conteúdo é integrais impróprias do tipo I (singularidade em x=0) e vamos usar o critério da integral de potência ( p-integral) e, se convergir, calcular seu valor pela antiderivada.

Passo 2

Para testar convergência, comparamos com a integral-padrão
\int_{0}^{1}x^{-p}dx,
que converge se e somente se p<1. Aqui temos p=\tfrac{2}{3}, e como \tfrac{2}{3}<1, concluímos que
\int_{0}^{1}x^{-\tfrac{2}{3}}\,dx
é convergente.

Passo 3

Agora calculamos a antiderivada de x^{-\tfrac{2}{3}}. Como a potência é -\tfrac{2}{3}\neq -1, vale
\int x^{-\tfrac{2}{3}}\,dx = \frac{x^{1-\tfrac{2}{3}}}{1-\tfrac{2}{3}} = \frac{x^{\tfrac{1}{3}}}{\tfrac{1}{3}} =3\,x^{\tfrac{1}{3}}.

Passo 4

Avaliando o limite de 3\,x^{\tfrac{1}{3}} de 0 a 1, temos
\lim_{b\to1^-}3\,b^{\tfrac{1}{3}} -\lim_{a\to0^+}3\,a^{\tfrac{1}{3}} =3\cdot1-3\cdot0 =3.

Resposta

A integral é convergente e vale 3.

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