Calcule a área da regiāo limitada pelos gráficos das funçōes
f(x)=\cos x e g(x)=\sin x, para \frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{5 \pi}{4}.

Passo 1

O enunciado pede a área da região entre os gráficos de \cos x e \sin x no intervalo \frac{\pi}{4}\le x\le\frac{5\pi}{4}. O conteúdo aqui é cálculo de área entre curvas, que usamos integrando a diferença entre a função superior e a inferior.

Passo 2

Primeiro determinamos onde as duas curvas se cruzam, resolvendo
\cos x = \sin x
Isso ocorre quando
\tan x = 1\quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{4}+k\pi.
No intervalo dado, os pontos de interseção são x=\frac{\pi}{4} e x=\frac{5\pi}{4}.

Passo 3

Para saber qual função está por cima em \bigl(\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\bigr), basta testar um valor interno, por exemplo x=\pi:
\cos\pi=-1,\quad \sin\pi=0\quad\Longrightarrow\quad \sin\pi>\cos\pi.
Logo em todo o intervalo aberto, \sin x fica acima de \cos x e a área é
\int_{\pi/4}^{5\pi/4}\bigl(\sin x-\cos x\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculamos a integral:
\int\bigl(\sin x-\cos x\bigr)\,dx =-\cos x-\sin x + C.
Então
\left[-\cos x-\sin x\right]_{\,\pi/4}^{\,5\pi/4} =\bigl(-\cos(5\pi/4)-\sin(5\pi/4)\bigr) -\bigl(-\cos(\pi/4)-\sin(\pi/4)\bigr).
Como \cos(5\pi/4)=\sin(5\pi/4)=-\tfrac{\sqrt2}{2} e \cos(\pi/4)=\sin(\pi/4)=\tfrac{\sqrt2}{2}, temos
-\cos(5\pi/4)-\sin(5\pi/4) =\sqrt2 \quad\text{e}\quad -\cos(\pi/4)-\sin(\pi/4) =-\sqrt2.
Portanto a área vale
\sqrt2 - (-\sqrt2)=2\sqrt2.

Resposta

A área da região é 2\sqrt2.

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