Seja
um número real positivo e seja
. Interprete geometricamente:
;
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma interpretação geométrica:
- Foi dado um número real positivo
(ou seja, ). - Foi dado um número complexo
. - Pede-se interpretar geometricamente o conjunto
Passo 2
Primeiro, lembro o que significa a notação e o que a geometria do plano complexo é:
- Identificamos cada número complexo
com um ponto no plano, escrevendo com . - A operação
é o módulo: para temos
que é a distância euclidiana do ponto correspondente a
até a origem
.
Passo 3
Agora interpreto
como distância entre
e
. Escrevo
e
em coordenadas reais:
- Seja
. - Seja
(peguei da hipótese do enunciado).
Então
Passo 4
A condição do enunciado é
. Elevando ao quadrado (operações válidas pois ambos os lados são não negativos) obtemos a equação em coordenadas reais:
Essa é exatamente a equação cartesiana de uma circunferência no plano com centro em
e raio
.
Passo 5
Portanto geometricamente o conjunto pedido é a circunferência (apenas a fronteira, não o disco fechado) de centro
e raio
. Uma parametrização conveniente dessa curva é
Isso mostra que, variando
, percorremos todos os pontos da circunferência.
Passo 6
Alguns comentários práticos e exemplos para fixar:
- Se
a condição vira , que é a circunferência centrada na origem com raio . - Se
temos a circunferência centrada no ponto com raio . - A hipótese
garante que a circunferência não é degenerada; se o conjunto seria o ponto isolado .
Passo 7
Resumo didático: pensar em
como distância entre o ponto que representa
e o ponto que representa
torna a interpretação imediata: a igualdade a
seleciona todos os pontos que estão exatamente a distância
de
, ou seja, forma uma circunferência de raio
centrada em
. Força aí — esse tipo de interpretação cai direto na prova!
Resposta
A circunferência de centro
e raio
.