Seja r um número real positivo e seja \alpha \in \mathbb{C}. Interprete geometricamente:
{z \in \mathbb{C} ;|z-\alpha|=r};

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma interpretação geométrica:
  • Foi dado um número real positivo r (ou seja, r>0).
  • Foi dado um número complexo \alpha\in\mathbb{C}.
  • Pede-se interpretar geometricamente o conjunto
\{z\in\mathbb{C} \mid |z-\alpha|=r\}.

Passo 2

Primeiro, lembro o que significa a notação e o que a geometria do plano complexo é:
  • Identificamos cada número complexo z com um ponto (x,y) no plano, escrevendo z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}.
  • A operação |\cdot| é o módulo: para w=u+iv temos
|w|=\sqrt{u^{2}+v^{2}},
que é a distância euclidiana do ponto correspondente a w até a origem (0,0).

Passo 3

Agora interpreto |z-\alpha| como distância entre z e \alpha. Escrevo z e \alpha em coordenadas reais:
  • Seja z=x+iy.
  • Seja \alpha=a+ib (peguei \alpha da hipótese do enunciado).
Então
|z-\alpha|=| (x-a)+i(y-b) | = \sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}.

Passo 4

A condição do enunciado é |z-\alpha|=r. Elevando ao quadrado (operações válidas pois ambos os lados são não negativos) obtemos a equação em coordenadas reais:
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.
Essa é exatamente a equação cartesiana de uma circunferência no plano com centro em (a,b) e raio r.

Passo 5

Portanto geometricamente o conjunto pedido é a circunferência (apenas a fronteira, não o disco fechado) de centro \alpha e raio r. Uma parametrização conveniente dessa curva é
z(\theta)=\alpha + r(\cos\theta + i\sin\theta)=\alpha + r e^{i\theta},\quad \theta\in[0,2\pi).
Isso mostra que, variando \theta, percorremos todos os pontos da circunferência.

Passo 6

Alguns comentários práticos e exemplos para fixar:
  • Se \alpha=0 a condição vira |z|=r, que é a circunferência centrada na origem com raio r.
  • Se \alpha=2+i temos a circunferência centrada no ponto (2,1) com raio r.
  • A hipótese r>0 garante que a circunferência não é degenerada; se r=0 o conjunto seria o ponto isolado \{\alpha\}.

Passo 7

Resumo didático: pensar em |z-\alpha| como distância entre o ponto que representa z e o ponto que representa \alpha torna a interpretação imediata: a igualdade a r seleciona todos os pontos que estão exatamente a distância r de \alpha, ou seja, forma uma circunferência de raio r centrada em \alpha. Força aí — esse tipo de interpretação cai direto na prova!

Resposta

A circunferência de centro \alpha e raio r.

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