Seja
um número real positivo e seja
. Interprete geometricamente:
;
Passo 1
O enunciado dá
um número real positivo e dá
(embora
não seja usado na expressão a interpretar). Pede-se a interpretação geométrica do conjunto
Listei: dado
; quero entender geometricamente todos os
com
.
Passo 2
Lembrete básico (passo-a-passo): cada número complexo
pode ser visto como um ponto do plano real, escrevendo
onde
e
são números reais. Identificamos
com o ponto
no plano.
Definição de módulo/distância: o módulo de é
Definição de módulo/distância: o módulo de
Expliquei: essa fórmula vem do teorema de Pitágoras — se você vai do ponto
até
, a distância é
.
Passo 3
Interpretação da desigualdade
: substituir a definição do módulo dá
Elevando ambos os lados ao quadrado (operacão válida porque todos são não negativos) obtemos
Isto é uma descrição bem conhecida em coordenadas cartesianas: são todos os pontos
cuja distância ao ponto
é menor ou igual a
.
Passo 4
Descrição geométrica direta: o conjunto
corresponde exatamente ao disco fechado no plano complexo com centro na origem
e raio
. “Disco fechado” significa que inclui todos os pontos interior (distância estritamente menor que
) e também a fronteira (os pontos com distância igual a
).
Descrição da fronteira e do interior: a fronteira é o círculo
Descrição da fronteira e do interior: a fronteira é o círculo
cuja parametrização é
com
. O interior é
ou seja, todos os pontos estritamente dentro desse círculo.
Passo 5
Forma polar (útil na prova): qualquer
pode ser escrito como
com
e
. A condição
fica simplesmente
ou seja, todos os raios desde a origem até a distância
.
Exemplos concretos para fixar: se temos o disco unitário
. Se
temos o disco de raio
. Por exemplo,
pertence ao disco de raio
se e somente se
, isto é,
.
Exemplos concretos para fixar: se
Passo 6
Propriedades úteis que podem cair em prova: o conjunto é compacto (fechado e limitado), tem área
no plano real, e é simétrico em relação à origem (se
está, então
também está). Se a questão em vez de
fosse
, então o disco seria centrado em
(aí
faria sentido).