Seja r um número real positivo e seja \alpha \in \mathbb{C}. Interprete geometricamente:
{z \in \mathbb{C} ;|z| \leq r};

Passo 1

O enunciado dá r um número real positivo e dá \alpha\in\mathbb{C} (embora \alpha não seja usado na expressão a interpretar). Pede-se a interpretação geométrica do conjunto
\{\,z\in\mathbb{C}\;:\;|z|\le r\,\}.
Listei: dado r>0; quero entender geometricamente todos os z com |z|\le r.

Passo 2

Lembrete básico (passo-a-passo): cada número complexo z pode ser visto como um ponto do plano real, escrevendo
z=x+iy,
onde x=\Re(z) e y=\Im(z) são números reais. Identificamos z com o ponto (x,y) no plano.
Definição de módulo/distância: o módulo de z é
|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Expliquei: essa fórmula vem do teorema de Pitágoras — se você vai do ponto (0,0) até (x,y), a distância é \sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 3

Interpretação da desigualdade |z|\le r: substituir a definição do módulo dá
\sqrt{x^{2}+y^{2}}\le r.
Elevando ambos os lados ao quadrado (operacão válida porque todos são não negativos) obtemos
x^{2}+y^{2}\le r^{2}.
Isto é uma descrição bem conhecida em coordenadas cartesianas: são todos os pontos (x,y) cuja distância ao ponto (0,0) é menor ou igual a r.

Passo 4

Descrição geométrica direta: o conjunto \{z\in\mathbb{C}:\,|z|\le r\} corresponde exatamente ao disco fechado no plano complexo com centro na origem 0 e raio r. “Disco fechado” significa que inclui todos os pontos interior (distância estritamente menor que r) e também a fronteira (os pontos com distância igual a r).
Descrição da fronteira e do interior: a fronteira é o círculo
\{z\in\mathbb{C}:\,|z|=r\},
cuja parametrização é z=r e^{i\theta} com \theta\in[0,2\pi). O interior é
\{z\in\mathbb{C}:\,|z|<r\},
ou seja, todos os pontos estritamente dentro desse círculo.

Passo 5

Forma polar (útil na prova): qualquer z pode ser escrito como z=\rho e^{i\theta} com \rho\ge0 e \theta\in\mathbb{R}. A condição |z|\le r fica simplesmente
0\le\rho\le r,
ou seja, todos os raios desde a origem até a distância r.
Exemplos concretos para fixar: se r=1 temos o disco unitário \{z:|z|\le1\}. Se r=2 temos o disco de raio 2. Por exemplo, z=1+i pertence ao disco de raio r se e somente se \sqrt{1^{2}+1^{2}}\le r, isto é, \sqrt{2}\le r.

Passo 6

Propriedades úteis que podem cair em prova: o conjunto é compacto (fechado e limitado), tem área \pi r^{2} no plano real, e é simétrico em relação à origem (se z está, então -z também está). Se a questão em vez de |z|\le r fosse |z-\alpha|\le r, então o disco seria centrado em \alpha (aí \alpha faria sentido).

Resposta

\{z\in\mathbb{C}:\,|z|\le r\} é o disco fechado de centro 0 (a origem) e raio r no plano complexo.

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